设[图]是Hilbert空间H的一个标准正交基，[图] 则以下命...

  (a)＜u_a＞为H的标准正交基

  (b)

  (c)任取x，y∈H，有

  其中 

  {u_n：n=1，2，…}={u_a：＜x，u_a＞≠0或者＜y，u_a＞≠0)

  (a)若{k_n}为有界的，则

  ，x∈H

  定义了BL(H)中一元。

  (b)A为紧的当且仅当k_n→0

  (c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当

  (a)若{k_n}为有界的，则

  ，x∈H

  定义了BL(H)中一元。

  (b)A为紧的当且仅当k_n→0

  (c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当

设M是Hilbert空间H的非空子集，则当且仅当

  ， x∈H

  定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[＜strong＞对角算子＜/strong＞]]。求A的特征值和谱。

  ， x∈H

  定义了H上的正规算子[这样的算子被称为对角算子]。求A的特征值和谱。

  (a)H的每一标准正交集必为可数的。

  (b)H有Schauder基。

  (a)这两个矩阵的每一行和每N均为平方可和的。

  (b)AB和A^*分别由(c_ij)和(d_ij)表示，其中

  ,

    (11)

  求证：

  (a)

  (b)若{v_i：i∈J}为H的另一标准正交基，则

  (c)A为紧算子。

  [使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]

    (11)

  求证：

  (a)

  (b)若{v_i：i∈J}为H的另一标准正交基，则

  (c)A为紧算子。

  [使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]