设H为Hilbert空间，{ua}为H的标准正交集。求证：下述命题相互等价： （a)＜ua＞为H的标准正交基 （b) （c)任取x，y

设H为Hilbert空间，F₁，F₂，…为H的闭子空间且对于n≠m有F_n⊥F_m。设

  求证：任取x∈F，对n=1，2，…，存在唯一的x_n∈Fn，使得

对于0≤t≤1，令u_0,0(t)=1，

  若n=1，2，…，j=1，2，…，2ⁿ，设

  求证：函数族u_n，j定义了L²[0，1]的标准正交基。

对于n=0，1，…，令x_n(t)=t_n，{u_n}为由{x_n}出发在L²[-1，1]中由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的标准正交序列。求证：

  (a){u_n}为L²[-1，1]的标准正交基。

  (b)u_n(t)=((2n+1)/2)^1/2P_n(t)，其中P₀(t)=1，若n≥1

  (15)

 [P_n(t)被称为n阶Legendre多项式。]

若n=0，1，2，…，令x_n(t)=tⁿe^-t2/2，{u_n}为从{x_n}出发在L²(-∞，∞)中由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的标准正交序列。求证：{u_n}为L²(-∞，∞)的标准正交基。[H_n(t)=(2ⁿn!)^1/2π^1/4e^t2/2u_n(t)为多项式，被称为n阶Hermite多项式。]

对于n=0，1，2，…，令x_n(t)=e^-t/2tⁿ。设{u_n}为由{x_n}出发在L²(0，∞)上由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的L²(0，∞)的标准正交序列。求证：{u_n}为L²(0，∞)的标准正交基。[L_n(t)=e^t/2u_n(t)为多项式，称为n阶Laguerre多项式。]

设A，B为内积空间X的非空子集且。求证：

  (a)；

  (b)；

  (c)A^⊥⊥⊥=A^⊥

  举例说明(a)和(b)中的包含关系可以是等式，也可以是严格的包含关系。

设Y为Hilbert空间H的闭子空间。求证X/Y线性等距同构于Y^⊥

设z为内积空间X一固定元。求证：

  f(x)=＜x，z＞， x∈X

  定义了X上范数为‖z‖的有界线性泛函证明若映射X→X'，z→f为满射，则X必为Hilbert空间。