设H为可分Hilbert空间,{un}为H的标准正交基。假定BL(H)中元A和B相对于{un}的矩阵表示分别为(aij)和(bij),求证:
(a)这两个矩阵的每一行和每N均为平方可和的。
(b)AB和A*分别由(cij)和(dij)表示,其中
,
第1题
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列,A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1, n=1,2,…。
求σ(A)
第2题
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列,A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1, n=1,2,…。
求σ(A)
第3题
设H为可分Hilbert空间,{un}为H的无穷标准正交基。若A∈BL(H)定义为Aun=un+1,n≥1,求证:A*u1=0,对于n=2,3,…有A*un=un-1。证明:A*A=I≠AA*,其中I为H上的恒等算子。
第4题
设H为可分Hilbert空间,{un}为H的标准正交基,{kn}为有界纯量列求证:
, x∈H
定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[<strong>对角算子</strong>]]。求A的特征值和谱。
第5题
设{un}为Hilbert空间H的标准正交序列,Y=span{un}及x∈H。求证下述命题相互等价:
(a)
(b)
(c)
第6题
设A为Hilbert空间H上的紧算子,{un}为H的无穷标准正交序列,求证:在H中有Aun→0
第7题
设A为Hilbert空间H上的紧算子,{un}为H的无穷标准正交序列,求证:在H中有Aun→0
第8题
设H为可分Hilbert空间,求证:
(a)H的每一标准正交集必为可数的。
(b)H有Schauder基。
第9题
设H为Hilbert空间,{un}为H的无穷标准正交基,对n=1,2,…,设Fn=span{u1,u2,…un}。若Pn为从H到F,,的正交投影.求证:
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
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