设H为无穷维Hilbert空间,{un}为H的标准正交基,{un}为H的某一标准正交序列。{kn}为一纯量列。求证:
(a)若{kn}为有界的,则
,x∈H
定义了BL(H)中一元。
(b)A为紧的当且仅当kn→0
(c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当
第1题
设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的纯量连续函数,k不恒为0,且任取s,t∈[0,1]有k(s,t)=k(t,s)。设A定义在L2[0,1]为
,0≤s≤1, x∈L2[0,1]。
求证:存在非零实序列{λn},存在由[0,1]上的连续函数组成的标准正交序列{un},使得对x∈L2[0,1]
其中,若上述级数为无穷级数,则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2<∞
第2题
设z∈L2(-π,π]且延拓z为R上的周期为2π的函数。若x∈L2[-π,π],设
求证:
(a)若为z的Fourier级数,则对x∈L2[-π,π]有
这个级数在[-π,π]上一致绝对收敛。
(b)A为紧算子。
(c)A的特征值由z的Fourier系数cn给出,其对应的特征函数为eins,n=0,±1,±2,…。
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