设H为可分Hilbert空间,求证:
(a)H的每一标准正交集必为可数的。
(b)H有Schauder基。
第1题
设H为Hilbert空间,{ua}为H的标准正交集。求证:下述命题相互等价:
(a)<ua>为H的标准正交基
(b)
(c)任取x,y∈H,有
其中
{un:n=1,2,…}={ua:<x,ua>≠0或者<y,ua>≠0)
第2题
设H为Hilbert空间,F1,F2,…为H的闭子空间且对于n≠m有Fn⊥Fm。设
求证:任取x∈F,对n=1,2,…,存在唯一的xn∈Fn,使得
第3题
对于0≤t≤1,令u0,0(t)=1,
若n=1,2,…,j=1,2,…,2n,设
求证:函数族un,j定义了L2[0,1]的标准正交基。
第4题
对于n=0,1,…,令xn(t)=tn,{un}为由{xn}出发在L2[-1,1]中由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的标准正交序列。求证:
(a){un}为L2[-1,1]的标准正交基。
(b)un(t)=((2n+1)/2)1/2Pn(t),其中P0(t)=1,若n≥1
(15)
[Pn(t)被称为n阶Legendre多项式。]
第5题
若n=0,1,2,…,令xn(t)=tne-t2/2,{un}为从{xn}出发在L2(-∞,∞)中由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的标准正交序列。求证:{un}为L2(-∞,∞)的标准正交基。[Hn(t)=(2nn!)1/2π1/4et2/2un(t)为多项式,被称为n阶Hermite多项式。]
第6题
对于n=0,1,2,…,令xn(t)=e-t/2tn。设{un}为由{xn}出发在L2(0,∞)上由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的L2(0,∞)的标准正交序列。求证:{un}为L2(0,∞)的标准正交基。[Ln(t)=et/2un(t)为多项式,称为n阶Laguerre多项式。]
第8题
设A,B为内积空间X的非空子集且。求证:
(a);
(b);
(c)A⊥⊥⊥=A⊥
举例说明(a)和(b)中的包含关系可以是等式,也可以是严格的包含关系。
第10题
设z为内积空间X一固定元。求证:
f(x)=<x,z>, x∈X
定义了X上范数为‖z‖的有界线性泛函证明若映射X→X',z→f为满射,则X必为Hilbert空间。
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