第2题
证明:
(1)设X是距离空间,,则A是闭集的充分必要条件是X\A为开集;
(2)距离空间中的闭集为可列个开集的交;
(3)距离空间中的开集为可列个闭集的并。
第3题
设X,Y为拓扑空间,证明T:X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A,T-1(A)是X的闭集.
第5题
设X为拓扑空间,x∈X,令Ax为X中含x的一切连通子集之并,证明Ax为X的连通分支.并证明X的任一非空连通子集必含于唯一的一个连通分支中,从而X可分解为若干个互不相交的连通分支的并集.
第8题
设X是拓扑空间,{Aλ:λ∈A}是X中任意子集族,其中指标集Λ非空.设A与B是X的子集.证明以下三个包含关系,并举例说明每个包含关系都不能改为等号.
第11题
设果F1,F2是距离空间X中的子集,其中一个是闭集另一个是紧集。证明:如果ρ(F1,F2)=0,则
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