设A为拓扑空间X的子集，A既开又闭，那么∂A=（）。

设A是度量空间X的子集，为A的边界．证明开集与闭集的边界是无处稠密的．

设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规空间的当且仅当它的每个子空间完全正规．

设X，Y是赋范空间，F∈BL(X，Y)。证明若F映X的开子集为Y的开子集，则F是满射。

设X为拓扑空间，f：X→连续．证明A={x∈X：f(x)=0}是X的闭集．

设X是拓扑空间，{A_λ：λ∈A}是X中任意子集族，其中指标集Λ非空．设A与B是X的子集．证明以下三个包含关系，并举例说明每个包含关系都不能改为等号．

设(X，τ_X)，(Y，τ_Y)是拓扑空间．证明f：X→Y连续当且仅当对Y的每个子集B，

设X为拓扑空间，x∈X，令A_x为X中含x的一切连通子集之并，证明A_x为X的连通分支．并证明X的任一非空连通子集必含于唯一的一个连通分支中，从而X可分解为若干个互不相交的连通分支的并集．

设X，Y为拓扑空间，证明T：X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A，T^-1(A)是X的闭集．

设X为赋范空间，Ω是X的有界开凸子集，θ∈Ω，T：→X为全连续算子，为Ω的边界．若下列条件之一满足：

设X是赋范空间，为X的开凸子集，E为X的线性子空间，．证明：存在f∈X^*，当x∈E时有f(x)=0；当x∈B时有f(x)≠0．