设拓扑空间X和Y同胚，则下面不正确的命题是（）。

设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规空间的当且仅当它的每个子空间完全正规．

设X是距离空间，如果A按照X的距离是完备的，证明：A是X中的闭集。若X是完备的距离空间，是完备的距离空间，是闭的，则A按照X的距离是完备的距离空间。

设X是Banach空间，Y是任一个赋范空间。若F：X→Y是从X到R(F)的线性同胚，且R(F)在Y中稠密，证明R(F)=Y

设X是赋范空间，．若任意f∈X^*，{f(x_n)}是Cauchy数列，则称{x_n}是弱Cauchy列．若X中每个弱Cauchy列都弱收敛，则称X弱序列完备．证明自反空间弱序列完备，空间c₀不是弱序列完备的．

设X是拓扑空间，是X的非空子集族且满足

(F1)

(F2)若A，B∈，则

(F3)若A∈，AB，则B∈，

则称是X上的一个滤子．若对X上的任一滤子，由蕴涵，则称滤子是一个极大滤子或超滤．若点p∈X的邻域系有，则称滤子收敛于p，记为．证明下列命题：

设X与Y是赋范空间，若映射T: XY满足（），则称T是拓扑同构映射.

A、T是双射

B、T是线性映射

C、T是连续的

D、是连续的

设Y是赋范空间X的子空间。证明：若a∈X，，则存在f∈X'使得f在Y上恒为0，f(a)=d(a，Y)且‖f‖=1

设(X，ρ)为度量空间，T：X→X为映射，若存在常数β＞1使ρ(Tx，Ty)≥βρ(x，y)，x，y∈X，则称T为扩张映射．设X是完备的，证明满的扩张映射必存在唯一的不动点，并举例说明非满射的扩张映射未必有不动点．