试证明： 设f（x)，g（x)均在[a，b]上连续，且f（x)≤g（x)（a≤x≤b)，令E=（（x，y)：x∈[a，b]，f（x)≤y≤g（x)}．若h∈C（E)，则h∈

试证明：

  设对于每个x∈[0，1]均存在点集：m(I_x)≥1/2，以及二元可测函数

  则存在t^*∈[0，1]，：m(E)≥1/2，使得f(x，t^*)=1(x∈E)．

试证明：

  设f(x，y)定义在I=(a，b)×(c，d)上，满足

  (i)f(x，y)在I上连续； (ii)存在且在I上连续；

  (iii)对某个x₀∈(a，b)，在(c，d)上存在；

  (iv)存在且在I上连续，则存在，，且有

  ．

解答下列问题：

  设，且E₁，E₂是R¹中可测集，则称E是R²中的可测矩形．

试证明：

  设A，B是R¹中的可测集，且m(A)＞0，m(B)＞0，则A+B中包含一个区间I：m(I)＞0．

试证明：

  设{D_n}是含于平面上单位圆盘(闭)D内的互不相交且半径为{r_n}的(闭)圆盘列，若有，则．

试证明：

  存在R²中可测集E，使E+E不可测.

试证明：

  设f(x)，g(x)是E上的可测函数，m(E)＜+∞．若f(x)+g(y)在E×E上可积，则f∈L(E)，g∈L(E)

试证明：

  设E₁，E₂是R²中的正测集，则存在h₀＞0，使得

  m(E₁∩(E₂+{h₀}))＞0．

设是可测集．若对任意的有理数r≠0，均有，试证明m(E)=0或m(R¹＼E)=0．

试证明：

  设f(x)，g(x)是上非负可测函数，且f·g∈L(E)．令E_y={x∈E：g(x)≥y}，则对一切y＞0，均存在函数，且有.