试证明:
设f(x),g(x)是上非负可测函数,且f·g∈L(E).令Ey={x∈E:g(x)≥y},则对一切y>0,均存在函数,且有.
第1题
设是可测集,若有
m(Ex)=m({y:(x,y)∈E})≤1/2,a.e.x∈[0,1],则m({y:m(Ey)=1})≤1/2.
第2题
(卷积是连续函数) 设f∈L(Rn),g(x)在Rn上有界可测,则F(x)=(f*g)(x)是R1上的一致连续函数.
第3题
(L中无卷积单位) L(R1)中不存在函数u(x),使得对一切f∈L(R1),有
(u*f)(x)=f(x), a.e.x∈R1. (*)
第4题
设且0<m(E)<+∞,f(x)在R1上非负可测.则f∈L(R1)当且仅当在R1上可积.
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