粒子作自由运动,已知t=0时初始波函数为
,a>0
(a)求t=0时波包宽度△x,动量涨落△p及p表象中的波函数φ(p);(b)求t>0时波函数ψ(x,t)以及(t),△x;(c)讨论此波包的运动特征.
第1题
粒子作一维自由运动,设t=0时初始波函数为
其中φ(k)为任意给定的函数。试证明:在足够长时间以后,波函数取下列极限形式:
并对|ψ(x,t)|2的极限形式作出合理解释.
第2题
质量为m的粒子作一维自由运动,波函数ψ(x,t).以各时刻位置x的涨落△x作为波包的有效半宽,作为波包中心.已知t=0时=x0,△x=a,=p0,△p=mu,并设t=0时波包宽度为各时刻的最小值.求t>0时波包中心(t)及有效半宽△x.
第3题
考虑图(a)所示一维散射问题,
设E<V0.(a)设入射波为单色平面波ei(kx-ωt),ω=E/h=hk2/2m,求反射波.特别注意相位变化.(b)入射波改成波包
其中A(k)是以k0为对称中心的分布很窄的函数,如图(b)所示.并设ψi是空间宽度(△x)很窄的波包.求反射波波函数,写出反射波包中心的运动方程,并求反射弛豫时间.
第4题
能量为E的平行粒子束以入射角θ射向平面x=0,如图所示.在区域x<0,V=0;在区域x>0,V=-V0.试分析粒子束的反射和折射规律,将结果用入射角θ和折射率n=(1+V0/E)1/2表示.
第5题
质量为m的粒子在势场V(x)中作一维运动.试证明,对于能量本征态(限于束缚态)ψn(能级En),以下平均值公式成立:
第6题
作一维自由运动的二粒子体系,粒子质量m1=m2=m,粒子间无相互作用,也无外力作用.以x1、x2表示粒子1、2的坐标,X、x表示质心坐标和相对坐标,
,x=x1-x2 (1)
以p1、p2表示粒子1、2的动量算符,P、p表示总动量与相对动量算符,
, (2)
, (3)
体系的Hlamilton量为
(4)
其中
M=2m, (5)
分别为总质量与折合质量.式(2)是p1、p2在(x1,x2)表象中的算符表示,式(3)是P、p在(X,x)表象中的算符表示.
体系的力学量完全集由一组对易算符构成,可以选(x1,x2)、(X,x)、(p1,p2)、(P,p)、(x,P)、(X,p)等等.
第7题
一个质量为μ的粒子在下面的势阱中运动
其中a、A>0为常量.求系统第三激发态的能量本征值.
第8题
粒子被一维势垒
散射,其中V0>0. 当粒子的能量E=V0时,有一半粒子被反射.试求粒子的质量μ.
第9题
在粒子数表象中,谐振子基态|0〉满足性质
a|0〉=0,
其中,为湮灭算符.试利用此性质求出基态在动量表象中的波函数显示表式〈p|0〉.
第10题
考虑一个二维谐振子,其Hamilton量为.已知其最低三个能量本征态为
设该二维谐振子又受到一微扰作用,其中.试对上述状态计算由V引起的一级微扰修正.
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