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(l²，l_z)的共同本征函数习惯上记为Y_lm(θ，φ)．本题中(l²，l_x)的共同本征函数记为Z_lm，(l²，l_y)的共同本征函数记为X_lm，本题只讨论l=1的情形．

将(l²，l_z)的共同本征态Y_lm记为|lm〉，证明

(1)

在l=1(l²=2h²)的情形下，证明：l_z=0的本征态，l_x=0的本征态以及l_y=0的本征态互相正交．

某个状态|ψ〉是角动量L²和L_z的本征态．

试计算在此状态中的平均值〈L_x〉和．

对于(l²，l_z)的共同本征态Y₁₀，求l_x的可能测值及相应概率．

以l=r×p表示轨道角动量．证明：在l_z的任何一个本征态下，l_x和l_y的平均值为0．

三维各向同性谐振子，总能量算符为

(1)

对于(H，l²，l_z)的共同本征态

(2)

计算〈r^-2〉，进而计算离心势能和径向动能平均值．

粒子处于轨道角动量(l²，l_z)的共同本征态Y₂₀，求l_x的可能测值及概率(取h=1)．

对于三维各向同性谐振子，(H，l²，l_z)的共同本征态为，求各〈r^λ〉的递推关系，并用以计算〈r²〉及〈r⁴〉．

对于l²，l_z的共同本征态|lm〉，计算下列各项平均值：l_xl_y，l_yl_x，l_n，。其中l_n=n·l，n为任意方向单位矢量，n与x，y，z轴夹角分别为α，β，γ．