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设＜ G,*＞是一个n阶循环群,生成元为s,则对于n的任一因子d,存在唯一的d阶子群.

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第1题

令a是群G的一个元素。令<a>={a_n|n∈Z}。证明<a>是G的一个子群，称为由a所生成的循环子群。特别，如果G=<a>，就称G是由a生成的循环群。试各举出一个无限循环群和有限循环群的例子。

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第2题

试证明,对任何整数m，{mx|x∈I}能够形成< I,+,·>的子环。

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第3题

设是域,这里+和·是一般加法和乘法。

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第4题

证明一个具有有限个元素的整环是一个域。

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第5题

设< R,+,·>是一个环，且对所有a∈R有a²=a，这样的环称为布尔环。 (a)证明< R,+,·>是个可交换环。 (b)证明对于所有的a∈R,有a+a=0， (c)试证明,如果|R|>2,则< R,+,·>不可能是个整环。

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第6题

设< {a,b,c,d},+,·>是一个环，+和·由以下两表定义。它是否是可交换环、它是否是含么环?是否是含

零因子环?哪些元索是零因子?

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第7题

证明，如果< H,*>和< K,*>都是群< G,*>的正规子群，那么(H∩K,*)也是一个正规子群。

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第8题

设< H,*>和< K,*>都是群< G,*>的子群，证明当且仅当HK=KH时< HK,*>是< G,*>的子群。

设< H,*>和< K,*>都是群< G,*>的子群，

证明当且仅当HK=KH时< HK,*>是< G,*>的子群。

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第9题

设a是群< G,*>的一个元素，试用归纳法证明，对于i,j∈I有

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第10题

设< S,*>是有限可交换独异点，若对于所有的a,b,c∈S.有是一个阿贝尔群。

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第11题

在群< G,*,-1,e>中。 (a)如果对任意元索a∈G有a²=e，则< G,*,-1,e>是阿贝尔群。 (b)如果对任意元素a,b∈G，有(a*b)²=a²*b²,则< G,*,-1,e>是阿贝尔群，

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