设＜ R,+,·＞是一个环，且对所有a∈R有a²=a，这样的环称为布尔环。 （a)证明＜ R,+,·＞是个可交换环。 （b)证明对于所有的a∈R,有a+a=0， （c)试证明,如果|R|＞2,则＜ R,+,·＞不可能是个整环。

设< R,+,*>是一个环，试证明，如果a,b∈R.则(a+b)²=a²+a·b+b*a+b².这里，a²=a*a,b²=b·b.

设<R，+，·>是环，a，b为环中任意元素，计算(a+b)²(b-a)。

给定环，且对任意元a∈R有a²=a，试证是可交换环。

下列集合是开集还是闭集,求出它们的内部边界和闭包:(1)A={(x,y)∈R²Ix≥0,y≥0,x十y≤1};(2)A={(x,y)∈R²|y(3)A={x∈R²IIxl=1};(4)A={(x,y)∈R²|=1}.

设e是群G上的幺元，若a∈G且a²=e,则a^-1=(),a^-2=()。

给出下列每个正整数有序对的集合的归纳定义(提示:把集合中的点画在平面上并寻找模式).(1)S={|a∈I⁺,b∈I⁺,且a+b是偶数}.(2)S={|a∈I⁺,b∈I⁺,且a或b是奇数}.(3)S={|a∈I⁺,b∈I⁺,且a+b是奇数且3|b}.

试在下列集合中决定:哪些集合是空集?哪些集合是相同的?哪些集合同有包含关系?哪些集合间有真子集关系?(1)A=|x|x?z,并且存在y?Z,使得x=2yl;(2)B=|2|;(3)C=|x|x∈A,且x²=1|;(4)D=|x|x?A,且x为索数);(5)E=|x|x=Q,且x²=2|.

设A是n阶矩阵，且A²=E，证明R(A+E)+R(A-E)=n。

若环中的每一元素a均满足a²=a,那么R被称为布尔环.证明:(1)布尔环是交换环.(2)对布尔环中

设A是实对称阵，且A²=0，证明A=0.