设（1）G上的二元运算为矩阵乘法，给出G的运算表（2）试找出G的所有子群（3）证明G的所有子群都是正

G上的运算是矩阵乘法。

(1)找出G的全部子群。

(2)在同构的意义下G是4阶循环群还是Klein四元群?

(3)令S是G的所有子群的集合，定义S上的包含关系，则<S，>构成偏序集，画出这个偏序集的哈斯图。

设G为所有n阶非奇异(满秩)矩阵的集合，矩阵乘法运算。作为定义在G上的二元运算，证明：是一个不可交换群．

  *表示矩阵的乘法运算，证明(G，*)是群．

(1)整数集Z和普通的减法运算。

(2)非零整数集Z⁺和普通的除法运算。

(3)全体n×n实矩阵集合M_n(R)和矩阵加法及乘法运算，其中n≥2。

(4)全体n×n实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法运算，其中n≥2。

(5)正数集R⁺和运算，其中运算定义为。

(6)n∈Z⁺，nZ={nz|z∈Z}，nZ关于普通的加法和乘法运算。

(7)A={a₁，a₂，...，a_n}，n≥2。运算定义如下：。

(8)S={2x-1|x∈Z⁺}关于普通的加法和乘法运算。

(9)S={0，1}，S关于普通的加法和乘法运算。

(10)S={xlx=2ⁿ，n∈Z⁺}，S关于普通的加法和乘法运算。

A、代数运算

B、矩阵运算

C、线性代数运算

D、几何运算

(1)以自然数集N为载体,数加运算”+”为三元运算组成一个代数结构,记为<N,+>.

(2)以全体2x2实数矩阵组成的集合M为载体,矩阵乘“。”为二元运算,组成一代数结构,记为<M,>。>.

(3)以集合A的幂集p(A)为载体,以集合并、交、补为其二元运算和一元运算组成一代数结构,记为

(G，*)是代数系统，其中运算*为矩阵的乘法，证明(G，*)是群。

设，B=P^-1AP，其中P为三阶可逆矩阵，则B²⁰⁰⁴-2A²=______．

  分析 本题考查矩阵的运算，主要是利用矩阵乘法的结合律并注意单位矩阵与每个矩阵都可交换，由矩阵乘法得