设A为离散空间X的子集，那么A⁰=（）。

设X，Y是赋范空间，F∈BL(X，Y)。证明若F映X的开子集为Y的开子集，则F是满射。

设M为Hilbert空间X的凸子集，且

证明{x_n}是X中的收敛点列

设(X，ρ)是度量空间，为X的非空有界子集的族，d表示X的子集的直径．非紧性测度α：定义为

α(A)=inf{δ＞0：A∪B_i，

有限个B_i使d(B_i)≤δ)，证明：

设X为赋范空间，Ω是X的有界开凸子集，θ∈Ω，T：→X为全连续算子，为Ω的边界．若下列条件之一满足：

设(X，‖·‖)是可分的赋范空间．证明存在可数子集，使得对于每一个x∈X，

设X为拓扑空间，x∈X，令A_x为X中含x的一切连通子集之并，证明A_x为X的连通分支．并证明X的任一非空连通子集必含于唯一的一个连通分支中，从而X可分解为若干个互不相交的连通分支的并集．

设X是赋范空间，为X的开凸子集，E为X的线性子空间，．证明：存在f∈X^*，当x∈E时有f(x)=0；当x∈B时有f(x)≠0．

设X是拓扑空间，{A_λ：λ∈A}是X中任意子集族，其中指标集Λ非空．设A与B是X的子集．证明以下三个包含关系，并举例说明每个包含关系都不能改为等号．

设A是度量空间X的子集，为A的边界．证明开集与闭集的边界是无处稠密的．

设E₁和E₂是赋范空间X的子集，

E₁+E₂={x+y：x∈E₁，y∈E₂)。

证明以下结论：

设E₁和E₂是赋范空间X的子集，

E₁+E₂={x+y：x∈E₁，y∈E₂)。

证明以下结论：