第1题
设X,Y为拓扑空间,证明T:X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A,T-1(A)是X的闭集.
第3题
设E是赋范空间X的子集。证明E在X中有界当且仅当对每个x'∈X',x'(E)是有界数集。
第8题
设X是赋范空间,xα∈X,,其中α属于某个指标集A。证明在X'中存在f使得f(xα)=kα当且仅当存在M>0使得
其中这些和是有限的,且是对所有可能的来取的。
第9题
设f是拓扑空间(X,τ)上的任意复函数,定义
φ(x,V)=sup{|f(s)-f(t)|:s,t∈V}, V∈τ,x∈V;
φ(x)=inf{φ(x,V):V∈τ),x∈V.
证明φ是上半连续的,并且f在点x连续当且仅当φ(x)=0.从而任何复函数连续点的集都是一个Gδ集.
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