第1题
若X是无穷维赋范空间,证明以下结论:
(a)存在单的不连续的线性映射F:X→X
(b)存在X上不连续的线性泛函。
(d)对任意的赋范空间Y≠{0},存在不连续的线性映射F:X→Y
第5题
证明任意两个有相同维数的有限维赋范空间是线性同胚。再此推出下述,结论:
(a)有限维空间的闭有界子集是紧的。
(b)赋范空间是有限维的当且仅当它是局部紧的。
第6题
设X,Y为赋范空间,且X为无穷维的。设F:X→Y为线性算子且下有界,即存在α>0使得
α‖x‖≤‖F(x)‖, x∈X (1)
求证:F不为紧算子。由此推出无穷维赋范空间上的恒等算子不为紧算子。
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