【判断题】任意维赋范线性空间中的有界无穷集合一定有收敛子列。（）

证明：无穷维限维赋范线性空间的对偶空间是无穷维的

证明：任何有限维赋范线性空间都是自反的

证明任意两个有相同维数的有限维赋范空间是线性同胚。再此推出下述,结论：

  (a)有限维空间的闭有界子集是紧的。

  (b)赋范空间是有限维的当且仅当它是局部紧的。

证明：无限维赋范线性空间X的单位算子I不是紧算子。

设X，Y为赋范空间，且X为无穷维的。设F：X→Y为线性算子且下有界，即存在α＞0使得

  α‖x‖≤‖F(x)‖， x∈X  (1)

  求证：F不为紧算子。由此推出无穷维赋范空间上的恒等算子不为紧算子。

若X是无穷维赋范空间，证明以下结论：

  (a)存在单的不连续的线性映射F：X→X

  (b)存在X上不连续的线性泛函。

  (d)对任意的赋范空间Y≠{0}，存在不连续的线性映射F：X→Y

若赋范空间X中的球

  U(0，r)={x∈X：‖x‖＜r}，r＞0

  是完全有界的，证明X是有限维的。

若赋范空间X和Y是线性同胚的，且其中一个是Banach空间，证明另一个也是Banach空间。因此推出所有有限维赋范空间都是Banach空间。

设X和Y都是赋范空间，X是有限维空间，证明从X到Y的线性映射都是连续的。

证明有限维线性空间上的任意两个范数都是等价的。