试证明： 设f（x)，fk（x)（k∈N)是E上可测函数，若有 ，a.e.x∈E，|fk（x)|≤F（x)，F∈L（E)，则对任给ε＞0，存在：m（e)＜ε，

试证明：

  设{f_k(x)}，{g_k(x)}是上的两个可测函数列，且有|f_k(x)|≤g_k(x)(x∈E，k∈N)，，,以及

  ，

  则.

试证明：

  设f_k∈L(E)(k∈N)，f∈L(E)．若，a.e．x∈E，则的充分必要条件是：

  .

试证明：

  设f_n∈L([0，1])(n=1，2，…)，F∈L([0，1])．若有

  (i)|f_n(x)|≤F(x)(n=1,2,…,x∈[0,1]);

  (ii)对任意的g∈C([0，1])，,

  则对任意的可测集，有．

试证明：

  设f_n∈C⁽¹⁾((a，b))(n=1，2，…)，且有

  ，， x∈(a，b)．

  若存在f'(x)，F(x)在(a，b)上连续，则f'(x)=F(x)，x∈(a，b)．

试证明：

  设f∈C([a，b])，φ∈C([a，b])，F∈L([a，b])，且对x∈[a，b],有

  ，φ_n∈C⁽¹⁾([a,b]) (n∈N)，

  ，

  |f(x)φ_n(x)|≤F(x) (n∈N，x∈[a，b])，则φ'(x)=f(x)φ(x)，x∈[a，b].

试证明：

  设f(x)在E上可测，m(E)＜+∞，则f^k∈L(E)(k∈N)且存在极限的充分必要条件是：|f(x)|≤1，a．e．x∈E.

试证明：

  设f∈L(R¹)．若对任一开集，有

  ，则f(x)=0，a．e．x∈R¹．

试证明：

  设f_n∈L(R¹)(n=1，2，…)，F∈L(R¹)，且有

  ．

  若存在，(n=1，2，…)：m(E_n△E)→0(n→∞)，则

  ．

试证明：

  设f(x)，g(x)在[0，∞)上局部可积，且有

  (0＜t＜+∞).

  若φ(x)是在[0，∞)上的非负递减函数，且f·φ∈L([0，∞))，g·φ∈L([0，∞))，则

  .

试证明：

  设f(x)是R¹上正值递增函数，{g_n(x)}是1=[0，1]上的实值可测函数列，若有

  ，(n=1，2，…)，以及g_n(x)→g(x)(n→∞，a．e．x∈[0，1])，则

  ．