试证明： 设f（x)在E上可测，m（E)＜+∞，则fk∈L（E)（k∈N)且存在极限的充分必要条件是：|f（x)|≤1，a．e．x∈E.

试证明：

设{f_k(x)}是E上的可测函数渐升列，若,则

试证明：

设{f_k(x)}是E上非负可测函数列．若有

，f_k(x)≤f(x) (x∈E，k=1，2，…)，则对E中任一可测子集e，有

.

试证明：

设{f_k(x)}，{g_k(x)}是上的两个可测函数列，且有|f_k(x)|≤g_k(x)(x∈E，k∈N)，，,以及

，

则.

试证明：

设{f_k(x)}是E上的可测函数列，F∈L(E)且F(x)＞0(x∈E)．若f_k(x)≥-F(x)(x∈E)，则

.

试证明：

设φ(x)是[0，∞)上的递增函数，f(x)以及f_k(x)(k∈N)是上实值可测函数，若有

，

则f_k(x)在E上依测度收敛于f(x)．

试证明：

设m(E)＜∞，f(x)，f₁(x)，f₂(x)，…，f_k(x)，…是E上几乎处处有限的可测函数，则{f_k(x)}在E上依测度收敛于f(x)的充分且必要条件是：

．

试证明：

设{f_k(x)}是E上可测函数列，且

，a.e.x∈E.

若有E上非负可积函数g(x)，使|f_k(x)|≤g(x)(k=1，2，…)，则对任给ε＞0，有

．

试证明：

设{f_k(x)}是上的非负可测函数列，且m(E)＜∞，则{f_k(x)}依测度收敛于零(函数)的充分必要条件是：

．

试证明：

设f(x)，f_k(x)(k∈N)是E上可测函数，若有

，a.e.x∈E，|f_k(x)|≤F(x)，F∈L(E)，则对任给ε＞0，存在：m(e)＜ε，使得f_k(x)在E\e上一致收敛于f(x)．

试证明：

设{f_k(x)}是E上非负可积函数列，若，则

．