试证明： 设fn∈L（R1)（n=1，2，…)，F∈L（R1)，且有 ． 若存在，（n=1，2，…)：m（En△E)→0（n→∞)，则 ．

试证明：

  设f(x)，g(x)在[0，∞)上局部可积，且有

  (0＜t＜+∞).

  若φ(x)是在[0，∞)上的非负递减函数，且f·φ∈L([0，∞))，g·φ∈L([0，∞))，则

  .

试证明：

  设f(x)是R¹上正值递增函数，{g_n(x)}是1=[0，1]上的实值可测函数列，若有

  ，(n=1，2，…)，以及g_n(x)→g(x)(n→∞，a．e．x∈[0，1])，则

  ．

试证明：

  设f_k∈L(Rⁿ)(k∈N)，，a．e．x∈Rⁿ．若存在F∈L(Rⁿ)，使得|f(x)|≤F(x)(x∈Rⁿ)，且令

  h_k(x)=mid{-F(x)，f_k(x)，F(x)}(即取中间之值)，则．

试证明：

  设(k∈N)是可测集，m(E_k)→0(k→∞)．若f∈L(R_n)，则.

试证明：

  设f₀(x)，f_n(x)(n∈N)是[0，1]上非负可积函数，若f_n(x)在[0，1]上依测度收敛于f₀(x)，且有

  ，

  则对[0，1]中任一可测集E，均有

  ．

试证明：

  设{f_k(x)}是上的非负可测函数列，且m(E)＜∞，则{f_k(x)}依测度收敛于零(函数)的充分必要条件是：

  ．

试证明：

  设f_n∈L([a，b])(n∈N)，且有

  |f_n(x)|≤M_n(n∈N，x∈[a，b])，，

  则，a．e．x∈[a，b]，且有

  .

试证明：

  设f∈L(R¹)，且正项级数，则

  ， a．e．x∈R¹．

试证明：

  设f∈L((0，∞))，且正数列{a_n}中不会有多于5个数落入长度为1的区间中，则，a．e．x∈(0，∞)．

试证明：

  设f∈L(R¹)，(x∈R¹).若g∈L(R¹)，则

  收敛.