利用升、降算符a+、a，求谐振子的能量本征函数（x表象)，并扼要讨论其数学性质．

对于谐振子的能量本征态|n〉，计算x、p、x²、p²的平均值及△x、△p．

电荷为q的谐振子，能量算符为

    (1)

  能量本征函数记为ψ_n(x)，能级记为．如外加均匀电场，使振子额外受力f=q，从而总能量算符变成

    (2)

  新的能级记为E_n，本征函数记为φ_n(x)．求E_n和φ_n，并将φ_n用ψ_n表示出来．

质量为m之粒子处于一维谐振子势场

  ，k＞0  (1)

  的基态．(a)如弹性系数k突然变为2k，即势场变成

  V₂(x)=kx²  (2)

  随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场V₂的基态的概率；(b)势场突然由V₁变成V₂后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成V₁．问τ取什么值时粒子仍恢复到原来V₁场的基态(概率100%)?

电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为

    (1)

  能量本征态记为ψ_n，能级．当0≤t≤τ，外加均匀电场，总能量算符变成

    (2)

  H的本征态记为φ_n，本征值为E_n．

  设t≤0时该谐振子处于基态ψ₀，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψ_n的成分．

振子势

  M为原子核的质量，x为原子核质心的坐标，ω为振动频率．设开始时原子核的质心运动(谐振动)处于基态，t=0时，由于核内能级跃迁，沿x轴方向发射出一个光子，能量E_γ，动量E_γ/c．由于γ辐射是突然发生的，可以认为原子核的质心运动受到的唯一影响是动量本征值由p变成(p-E_γ/c)．求发射光子后原子核质心运动仍然留在基态的概率．例如，对于⁵⁷Fe核，E_γ=18keV，ω=10¹²Hz，求上述“无反冲辐射”(即没有能量传给原子)概率之值。

证明谐振子相干态可以表示成

    (1)

  并求出|α〉在x表象中的表示式〈x|α〉(即波函数)．

一维谐振子，t=0时给定初始波函数

  求ψ(x，t)，并描述其主要运动特征．