利用升、降算符a+、a,求谐振子的能量本征函数(x表象),并扼要讨论其数学性质.
第2题
电荷为q的谐振子,能量算符为
(1)
能量本征函数记为ψn(x),能级记为.如外加均匀电场,使振子额外受力f=q,从而总能量算符变成
(2)
新的能级记为En,本征函数记为φn(x).求En和φn,并将φn用ψn表示出来.
第3题
质量为m之粒子处于一维谐振子势场
,k>0 (1)
的基态.(a)如弹性系数k突然变为2k,即势场变成
V2(x)=kx2 (2)
随即测量粒子的能量,求发现粒子处于新势场V2的基态的概率;(b)势场突然由V1变成V2后,不进行测量,经过一段时间τ后,势场又恢复成V1.问τ取什么值时粒子仍恢复到原来V1场的基态(概率100%)?
第4题
电荷为q的谐振子,t<0和t>τ时处于自由振动状态,总能量算符为
(1)
能量本征态记为ψn,能级.当0≤t≤τ,外加均匀电场,总能量算符变成
(2)
H的本征态记为φn,本征值为En.
设t≤0时该谐振子处于基态ψ0,求t>τ时的波函数ψ(x,t),以及ψ(x,t)中各能量本征态ψn的成分.
第5题
振子势
M为原子核的质量,x为原子核质心的坐标,ω为振动频率.设开始时原子核的质心运动(谐振动)处于基态,t=0时,由于核内能级跃迁,沿x轴方向发射出一个光子,能量Eγ,动量Eγ/c.由于γ辐射是突然发生的,可以认为原子核的质心运动受到的唯一影响是动量本征值由p变成(p-Eγ/c).求发射光子后原子核质心运动仍然留在基态的概率.例如,对于57Fe核,Eγ=18keV,ω=1012Hz,求上述“无反冲辐射”(即没有能量传给原子)概率之值。
第9题
证明谐振子相干态可以表示成
(1)
并求出|α〉在x表象中的表示式〈x|α〉(即波函数).
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