粒子在图所示之势场 中运动，求能级公式，并讨论如下极限情况： a→0，V→∞，2aV0→U0（有限值)

上题中，设

  ，

  (a)计算最低的两个能级之差，并画出相应的本征态波形；(b)以这两个能量本征函数构成一个初始波包ψ(x，0)，使粒子刚好出现在势阱的左半边(x＜0)，讨论这个波包的运动，特别要求出粒子穿透到势阱的右半边所需时间．

粒子作自由运动，已知t=0时初始波函数为

  ，a＞0

  (a)求t=0时波包宽度△x，动量涨落△p及p表象中的波函数φ(p)；(b)求t＞0时波函数ψ(x，t)以及(t)，△x；(c)讨论此波包的运动特征．

粒子作一维自由运动，设t=0时初始波函数为

  其中φ(k)为任意给定的函数。试证明：在足够长时间以后，波函数取下列极限形式：

  并对|ψ(x，t)|²的极限形式作出合理解释．

质量为m的粒子作一维自由运动，波函数ψ(x，t)．以各时刻位置x的涨落△x作为波包的有效半宽，作为波包中心．已知t=0时=x₀，△x=a，=p₀，△p=mu，并设t=0时波包宽度为各时刻的最小值．求t＞0时波包中心(t)及有效半宽△x．

考虑图(a)所示一维散射问题，

  设E＜V₀．(a)设入射波为单色平面波e^i(kx-ωt)，ω=E/h=hk²/2m，求反射波．特别注意相位变化．(b)入射波改成波包

  其中A(k)是以k₀为对称中心的分布很窄的函数，如图(b)所示．并设ψ_i是空间宽度(△x)很窄的波包．求反射波波函数，写出反射波包中心的运动方程，并求反射弛豫时间．

能量为E的平行粒子束以入射角θ射向平面x=0，如图所示．在区域x＜0，V=0；在区域x＞0，V=-V₀．试分析粒子束的反射和折射规律，将结果用入射角θ和折射率n=(1+V₀/E)^1/2表示．

质量为m的粒子在势场V(x)中作一维运动．试证明，对于能量本征态(限于束缚态)ψ_n(能级E_n)，以下平均值公式成立：

作一维自由运动的二粒子体系，粒子质量m₁=m₂=m，粒子间无相互作用，也无外力作用．以x₁、x₂表示粒子1、2的坐标，X、x表示质心坐标和相对坐标，

  ，x=x₁-x₂  (1)

  以p₁、p₂表示粒子1、2的动量算符，P、p表示总动量与相对动量算符，

  ，  (2)

  ，  (3)

  体系的Hlamilton量为

    (4)

  其中

  M=2m，  (5)

  分别为总质量与折合质量．式(2)是p₁、p₂在(x₁，x₂)表象中的算符表示，式(3)是P、p在(X，x)表象中的算符表示．

  体系的力学量完全集由一组对易算符构成，可以选(x₁，x₂)、(X，x)、(p₁，p₂)、(P，p)、(x，P)、(X，p)等等．

一个质量为μ的粒子在下面的势阱中运动

  其中a、A＞0为常量．求系统第三激发态的能量本征值．

粒子被一维势垒

  散射，其中V₀＞0． 当粒子的能量E=V₀时，有一半粒子被反射．试求粒子的质量μ．