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已知N阶巴特沃斯模拟低通滤波器的频率特性的幅度平方函数为

其中，Ω是角频率，N是滤波器阶数，Ω_c是3dB截止频率。证明|H_a(jΩ)|²在Ω=0处最平坦，即它在Ω=0处的前2N-1阶导数等于零。

对离散时间滤波器来说，巴特沃思低通滤波器由如下模平方表示

其中，Ω是截止频率(我们将它取为π/2)，N是滤波器的阶数(我们将认为N=1)。于是有

已知一个2阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传输函数为，试用双线性变换法将它变换成一个1阶数字低通滤波器，要求数字低通滤波器的3dB截止频率ω_c=0.25π。求数字低通滤波器的系统函数H(z)。

求满足以下指标要求的巴特沃斯模拟低通滤波器的阶数N和3dB截止频率HA（s）。指标：通带截止频率Ω_p，阻带截止频率Ω_T，通带波纹幅度δ_p和阻带波纹幅度δ_T。

设计模拟低通巴特沃斯滤波器，通带的波纹为Rp=1dB，通带上限角频率ω_p=0.2π，阻带下限角频率 ω_s=0.3π，阻带最小衰减=15dB，根据该低通模拟滤波器，利用冲激响应不变法设计响应的数字低通滤波器，并且绘出设计后的数字滤波器的特性曲线。

当模拟带通滤波器满足其幅度特性为单调下降，通带带宽,中心频率,通带最大衰减,,阻带最小衰减, 则巴特沃斯低通滤波器的阶数

设计一个巴特沃斯模拟低通滤波器，要求满足指标：3dB截止频率为1.5kHz，3kHz频率上的衰减不小于50dB。求该巴特沃斯模拟低通滤波器的传输函数H_a(n)。