设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（）.

A、T(A)是列紧集

B、T(A)是有界集

C、T(A)是紧集

D、T(A)是完全有界集

证明定理8.2.5.

设X与Y都是赋范线性空间,T:X→Y是一个映射,下列命题是等价的:

设X与Y是赋范空间，若映射T: XY满足（ ），则称T是拓扑同构映射.

A、T是双射

B、T是线性映射

C、T是连续的

D、是连续的

设X是以ρ为距离的紧空间，T是X到它自身的映射。若对任何x，y∈X，当x≠y时，有

  ρ(T_x，T_y)＜ρ(x，y)，

  则T有惟一的不动点。

设(X，ρ)是紧度量空间，T是X到自身的映射且满足条件：对任意x，y∈X，当x≠y时，ρ(Tx，Ty)＜ρ(x，y)．证明T在X上有唯一不动点．

设(X，ρ)为度量空间，T：X→X为映射，若存在常数β＞1使ρ(Tx，Ty)≥βρ(x，y)，x，y∈X，则称T为扩张映射．设X是完备的，证明满的扩张映射必存在唯一的不动点，并举例说明非满射的扩张映射未必有不动点．

设X₁，X₂，Y都是数域上的赋范空间．若映射T：X₁×X₂→Y的每个截口都是线性算子，则称T是二重线性算子．若

  sup{‖T(x₁，x₂)‖：‖x₁‖≤1，‖x₂‖≤1)＜∞，则称T有界．设X₁是完备的，截口T(x₁，·)与T(·，x₂)都是有界的，证明T是有界的．

设(X，ρ)是完备度量空间，T是X到自身的映射，在闭球B[x₀，r]上有ρ(Tx，Ty)≤θρ(x，y)且ρ(x₀，Tx₀)＜(1-θ)r，其中0≤θ＜1．证明T在B[x₀，r]上有唯一不动点．

设X是实线性空间。对X中所有x，y和r≥0，P：满足

  p(x+y)≤P(x)+P(y)，P(rx)=rp(x)

  设Y是X的子空间，g：是线性映射使得对所有y∈Y有

  g(y)≤p(y)

  设

  a∈X， ， Z=span{Y，a}，

  α=sup{g(y)-P(y-a)：y∈Y}，

  h(y+ta)=g(y)+tα， y∈Y，

  证明这就定义了线性映射h：使得

  h|_Y=g且对所有z∈Z有h(z)≤p(z)

设T为完备距离空间X到自身的映射，如果

  

  则T存在惟一的不动点。