设R为X上的偏序关系，则R为X上的全序关系当且仅当[图]。...

1、A={1，2，3，4}，AxA上关系R定义为：(x，y)R(u，v)，当且仅当x+ v = u+ y，证明R是等价关系，并确定由R对集合AxA的划分. 2、设A={|是英文字母}，在A中定义关系：R={(,) |,, 且在字母表中不在之后},判断关系R是否是偏序或全序关系？ 3、设A和B都是无限集，, 问A-B是否一定无限，是否一定有限. 4、给出三个不同的自然数集合N的真子集，使得它们都与N等势.

1、A={1，2，3，4}，AxA上关系R定义为：(x，y)R(u，v)，当且仅当x+ v = u+ y，证明R是等价关系，并确定由R对集合AxA的划分. 2、设A={|是英文字母}，在A中定义关系：R={(,) |,, 且在字母表中不在之后},判断关系R是否是偏序或全序关系？

设R是实数集，令X为R到[0，1]的函数的全体．若f、g∈X，定义(f，g)∈S当且仅当x∈[0，1]，f(x)-g(x)≥0． 证明：S是一个偏序关系，并且判断S是全序关系吗?

算法5-5：有向无环图的拓扑排序【图】 Description 由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作被称为拓扑排序。偏序和全序的定义分别如下： 若集合X上的关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是集合X上的偏序关系。 设R是集合X上的偏序，如果对每个x,y∈X必有xRy或yRx，则称R是集合X上的全序关系。 由偏序定义得到拓扑有序的操作便是拓扑排序。 拓扑排序的流程如下： 1. 在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出之； 2. 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。 重复上述两步，直至全部顶点均已输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况则说明有向图中存在环。 采用邻接表存储有向图，并通过栈来暂存所有入度为零的顶点，描述拓扑排序的算法 在本题中，读入一个有向图的邻接矩阵（即数组表示），建立有向图并按照以上描述中的算法判断此图是否有回路，如果没有回路则输出拓扑有序的顶点序列。 Input 输入的第一行包含一个正整数n，表示图中共有n个顶点。其中n不超过50。 以后的n行中每行有n个用空格隔开的整数0或1，对于第i行的第j个整数，如果为1，则表示第i个顶点有指向第j个顶点的有向边，0表示没有i指向j的有向边。当i和j相等的时候，保证对应的整数为0。 Output 如果读入的有向图含有回路，请输出“ERROR”，不包括引号。 如果读入的有向图不含有回路，请按照题目描述中的算法依次输出图的拓扑有序序列，每个整数后输出一个空格。 请注意行尾输出换行。 Sample Input4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0Sample Output3 0 1 2 HINT 在本题中，需要严格的按照题目描述中的算法进行拓扑排序，并在排序的过程中将顶点依次储存下来，直到最终能够判定有向图中不包含回路之后，才能够进行输出。 另外，为了避免重复检测入度为零的顶点，可以通过一个栈结构维护当前处理过程中入度为零的顶点。

  fRgf(x)≤g(x)， ∈A