设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（）是与路径无关的．

设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有连续一阶导数，(L)是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)。记 I=∫(L) 1/y[1+y^2f(xy)]dx+x/y^2[y2f(xy)-1]dy

   (1)证明曲线积分，的值与路径(L)无关；

  (2)当ab=cd时，求I的值

的积分弧L是_________的(定向、不定向)；利用L的参数方程将这个积分化为定积分时，下限α必须____________上限β． (2)第二类曲线积分

的积分弧L是____________的(定向、不定向)；利用L的参数方程将这个积分化为定积分时，下限α对应_____________，上限β对应__________，α未必小于β． (3)第一类曲面积分

的积分曲面∑是__________的(定向、不定向)；利用∑的方程z＝f(x，y)将这个积分化为二重积分时，曲面面积元素dS与二重积分面积元素曲的关系是_____________． (4)第二类曲面积分

的积分曲面∑是____________的(定向、不定向)；利用∑的方程z＝f(x，y)将这个积分化为二重积分时，曲面投影元素出dxdy与二重积分面积元素出的关系是_________，其中正负号根据____________来确定． (5)设P(x，y)、Q(x，y)均具有连续偏导数，则在平面___________区域内，曲线积分

与路径无关的判别条件是____________． (6)格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都是将一个在某个几何形体上的积分化为另一个在该几何形体的____________的积分，因此可看作是定积分中的____________公式的推广． (7)设c为椭圆x2／2＋y2／3＝1，其周长记为a，则

＝___________. (8)设∑是一个球面，F是一个常向量场，则

＝__________. (9)设f(x，y，z)具有各阶连续偏导数，则div(rot▽f)＝___________．

分析 先验证曲线积分是否与路径无关.计算积分时，可选取易于计算的折线路径,逐段化为定积分计算;或者先求出被积表达式的原函数u(x,y),然后用曲线积分基本公式,算出u(x,y)在上、下限处的值的差即可.

利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：

 ∮_Lyzdx+3zxdy-xydz,L是曲线,且顺着x轴的正向看是沿逆时针方向．  

(1)，其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，s=asinθ上对应θ从0到π的一段弧;

(2)，其中Γ是从点(1，1，1)到点(2，3，4)的一段直线;

(3)，其中Γ为有向闭折线ABCA，这里的A、B、C依次为点(1,0,0)，(O,1,0)，(0,0,1);

(4)，其中L是抛物线y=x2上从点(-1，1)到点(1，1)的一段弧.

( )。

A．e

B．e一1

C．e+1

D．0

下列广义积分中(  )是收敛的．

  A．  B．

  C．  D．