设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系. 设 R 是一个等价关系, 若 ∈R, 称 x 等价于y, 记做 x~y.（）

设R为非空集合A上的二元关系，如果R具有自反性、______、______，则称R为A上的一个偏序关系．

设M是任意非空集合，并令 R={(a，b)|a，b∈M}． 证明：M的一个关系决定R的一个子集；反之，R的任一个子集决定M的一个关系，且不同的关系决定R的两个不同的子集．

例证明。

设R和S是非空集合A上的等价关系，对下列各式举反例说明它们不是A上的等价关系．

  (1)(A×A)-R；(2)R-S；(3)r(R-S)．

考虑任意集合A上的二元关系的集合，如果某一集合运算施于关系后，所得关系仍具有相同的性质，那么说一个关系的性质在该集合运算下是保持的。例如自反性质在二元运算并之下是保持的，因为两个自反关系的并是自反的。然而，自反性质在集合的求补运算下是不保持的，因为一个非空集合上的一个自反关系的绝对补不是一个自反关系。按照在指出的集合运算下给出的性质是否保持，填充下表。对每一非(N)的回答，给出反例。

设X，Y为线性同胚的赋范空间，若X为自反的，求证：Y也为自反的。

对下列各题，判断线性空间V的子集合W是否构成V的子空间：

  (1) V=R³，W={(a，a，b)^T∈R³|a，b∈R}；

  (2) V=F^3×3，W为V中对称矩阵的全体所组成的集合；

  (3) V=F^3×3，W为V中反对称矩阵的全体所组成的集合；

  (4) V=F^3×3，W为V中上三角矩阵的全体所组成的集合；

  (5) V=F^3×3，W为V中对角矩阵的全体所组成的集合；

  (6) V=R[x]₂，W为V中只有一个实根的多项式全体所组成的集合；

  (7) V=R[x]₄，W为V中仅有两个实根x=1和x=2的多项式全体所组成的集合；

  (8) V=F^3×3，W={A∈F^n×n|tr(A)=0}，其中tr(A)为A的迹(即A的主对角线元素之和)。

证明：巴拿赫空间E为自反的充要条件是E^*为自反的