证明的充要条件是:对任何数列x_n→+∞,f（x_n)→A.

证明定理3.9

定理3.9：设函数f在点x0的某右邻域U+⁰(x₀)有定义,则极限的充要条件是:对任何以x0为极限且含于U+⁰(x₀)的递减数列{xn}有

使

..，x_n)=(0，x₁，...，x_n-1)。

(i)证明：σ是Fⁿ的一个线性变换，且σⁿ=θ;

(i)求Ker(σ)和Im(σ)的维数。

A.充分条件

B.充要条件

C.无关条件

D.必要条件

设f₁(x)，f₂(x)，...，f_n(x)∈F[x]，证明：

(i)f₁(x)，f₂(x)，...，f_n(x)=((f₁(x)，...，f_k(x))，(f_k+1+(x)，...，f_n(x)))，1≤k≤n-1。

(ii)f₁(x)，f₂(x)，...，f_n(x)互素的充要条件是存在多项式u₁(x)，u₂(x)，...，u_n(x)∈F[x]，使得

设f:[a,+∞)→R，证明：恒有|f(x₁)-f(x₂)|<ε。

证明:(1)若且f在I上有界,则{f_n}至多除有限项外,在I上是一致有界的;(2)若f_n(x)→f(x)(n→∞).x∈I,且对每一个自然数n,f_n在I上有界,则{f_n}在I上一致有界.