设α₁，α₂，···，α_m是n维欧氏空间V中一组向量，而证明：当且仅当|△|≠0时，α₁，α₂，

一正交变换使的充分必要条件为

设{α₁，α₂，···，α_n}和{β₁，β₂，···，β_n}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。

(i)证明：存在V的一个正交变换σ，使σ(α_i)=β_i，i=1，2，...，n;

(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α₁)=β₁，那么τ(α₂)，···，τ(α_n)所生成的子空间与由β₂，···，β_n所生成的子空间重合。

设(γ₁，γ₂，...，γ_n)是n维向量空间V的一个基。

并且α₁，α₂，···，α_n线性无关。又设σ是V的一个线性变换，使得σ(α_j)=β_j，j=1，2，...，n。求σ关于基γ₁，γ₂，...，γ_n的矩阵。

设{α₁，α₂，···，α_n}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令

证明

，α₃)，其中，求V₁的一组标准正交基。

性无关。设有m个数。则或者b₁=b₂=...=b_m=0，或者b₁，b₂，...，b_m皆不为零。在后者的情形，若有另一组数c₁，c₂，...，c_m使。

设V₁,V₂是n维线性空间V的两个子空间，并且满足.

证明：

.

征值。证明，存在V的线性变换σ₁，σ₂，···，σ_t，使得

设V为数域P上的n维线性空间，且V=L(α₁，α₂，...α_n)，

(1)证明{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}是V的一组基:

(2)若a∈V在基{α₁，α₂，...α_n}下的坐标为(n，n-1，...，2，1),求α在基{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}下的坐标