设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换。令λ₁，λ₂，···，λ_t是σ的全部本

设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值，V_λ是属于本征值的本

数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫作幂零的，如果存在一个正整数m使σ^m=θ。证明：(i)σ是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零;(ii)如果一个幂零变换σ可以对角化，那么σ一定是零变换。

设f是数域F上有限维向量空间V上一个大退化内积。g：VxV→F是F上另一个内积，证明存在V的唯一的线性变换σ，使得对于一切α，β∈V，都有g(α，β)=f(σ(α)，β)。证明：g是非退化的当且仅当σ是非奇异线性变换。

设V是数域F上一个有限维向量空间。证明，对于V的线性变换σ来说，下列三个条件是等价的：(i)σ是满射;(ii)Ker(σ)={0};(iii)σ非奇异。当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价?

设σ是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射。W₁，W₂是V的子空间，并且V=W₁⊕W₂。证明：σ有逆映射的充要条件是V=σ(W₁)⊕σ(W₂)。

数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫作一个对合变换，如果σ²=t，t是单位变换，设σ是V的一个对合变换。证明：(i)σ的本征值只能是±1;(ii)V=V₁⊕V_-1，这里V₁是σ的属于本征值1的本征子空间，V_-1是σ的属于本征值-1的本征子空间。

设V是数域F上一个一维向量空间。证明V到自身的一个映射σ是线性映射的充要条件是：对于任意ξ∈V，都有σ(ξ)=aξ，这里a是F中一个定数。

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：1)在P[x]中有一次数≤n²的多项式f(x)，使2)

设V是数域P上n维线性空间，证明：V的与全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。

设V是数域P上n维线性空间，证明：由V的全体线性变换组成的线性空间是n²维的。