设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换在基ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵是一若尔当块。证

设V是复数域上的n维线性空间，是V的线性变换，且证明：

1)如果λ₀是的一特征值，那么的不变子空间;

2)至少有一个公共的特征向量。

设V是复数域上的n维线性空间，T1，T2是V上的线性变换，且T1T2=T2，T1，证明： (1)如果λ0是T1的特征值，则Vλ0是T2的不变子空间； (2)T1，T2至少有一个公共的特征向量．

设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明：这里W_i=W∩V，i=1，2，...，k。

设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵是

求出σ的若尔当分解。

地定义V的一个线性变换α_A：V→V：对于任意X∈V=M_n(C)，α_A(X)=AX-AX。

(i)证明，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么α_A是V的幂零变换;

(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么α_D和α_N分别是线性变换α_A的若尔当分解。

设三维线性空间V上的线性变换在基ε₁，ε₂，ε₃下的矩阵为：

1)求在基ε₃，ε₂，ε₁下的矩阵;

2)求在基ε₁，kε₂，ε₃下的矩阵，其中k∈P且k≠0;

3)求在基ε₁+ε₂，ε₂，ε₃下的矩阵。

设V为数域P上的n维线性空间，且V=L(α₁，α₂，...α_n)，

(1)证明{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}是V的一组基:

(2)若a∈V在基{α₁，α₂，...α_n}下的坐标为(n，n-1，...，2，1),求α在基{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}下的坐标

设(γ₁，γ₂，...，γ_n)是n维向量空间V的一个基。

并且α₁，α₂，···，α_n线性无关。又设σ是V的一个线性变换，使得σ(α_j)=β_j，j=1，2，...，n。求σ关于基γ₁，γ₂，...，γ_n的矩阵。