设函数u（x,y)在光滑闭曲线L所围成的区域D上具有二阶连续偏导数,证明

设函数u(x，y)在由封闭的光滑曲线上所围的区域D上具有二阶连续偏导数，证明

    其中，是u(x，y)沿L外法线方向n的方向导数.

设u(x，y)，v(x，y)是具有二阶连续偏导数的函数，证明：

  

  

  其中，D为光滑曲线L所围的平面区域，而

  

  

  是u(x，y)，υ(x，y)沿曲线L的外法线n的方向导数．

设u(x,y),v(x,y)具具有二阶连续偏导数的函数,证明:

其中D为光滑闲曲线L所围的平面区域,而

是u(x,y),v(x,y)沿曲线L的外法线n方向导数.

设C为分段光滑简单闭曲线，n为C的外法线向量，D为C所围成的闭区域。函数u(x，y)在D上有连续二阶偏导数，证明

   

设D是以光滑曲线I为边界的有界闭区域,而函数u=u(x,y)在D上具有连续的二阶偏导数、记

证明:

其中表示函数u沿边界曲线I外法线方向的方向导数.

设u(x，y)，v(x，y)是具有二阶连续偏导数的函数，并设

  证明：

  (1)

  (2)，其中(σ)为闭曲线(C)所围的平面域，分别表示u与v沿着(C)的外法线方向的导数

设函数P(x，y)，Q(x，y)及R(x，y)在平面开区域D上有一阶连续偏导数，C是D的边界曲线，分段光滑．求证：f(x,y)在区域D上连续

设∑是空间有界闭区域Ω的整个边界曲面，函数u(x，y，z)和v(x，y，z)是定义在Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，分别表示u,v沿∑的外法线方向的方向导数，证明下面的格林第二公式：

  

设光滑曲面S包围有界闭区域Ω,而函数u=u(x,y,z)在Ω上二阶连续可微分,证明:

设函数u(x，y)，v(x，y)具有一阶连续偏导数，且满足证明

  其中C为包围原点的正向闭曲线