证明：函数f:I→R在x0∈I处连续

设函数f(x)在区间I上连续，证明： (1)若对任何有理数r∈I有f(r)=0，则在I上f(x)=0； (2)若对任意两个有理数r1，r2，r1＜r2，有f(r1)＜f(r2)，则f(x)在I上严格递增。

试证明：

  设定义在R²上的二元函数f(x，y)满足：

  (i)任意固定y₀∈R¹，f(x，y₀)是R¹上的连续函数；

  (ii)任意固定x₀∈R¹，f(x₀，y)是R¹上的连续函数；

  (iii)对R²中的任一紧集K，f(K)是R¹中的紧集，则f∈C(R²)．

设E×[0，1]上f(x，y)满足：f(x，y)是x∈E上的可测函数，且f(x，y)是y∈[0，1]上的连续函数，试证明：

  (i)f(x，y)是E×[0，1]上可测函数．

  (ii)M(x)=max{f(x，y):0≤y≤1}是E上的可测函数．

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1．证明：

(I)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ；

(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得fˊ(η)fˊ(ζ)＝1．

设函数f(x)与g(x)都在区间I内连续，证明函数ψ(x)=max(f(x)，g(x)}，ψ(x)=min{f(x)，g(x))也在区间I内连续．

...,n),,成立

设函数f(x)和φ(x)在[a，b]上连续．证明

  这里x_i≤ξ_i≤x_i+1，x_i≤θ_i≤x_i+1(i=0，1，…，n-1)

设f(x，y)为[a，b]×[c，+∞)上连续非负函数，

    在[a，b]上连续，证明I(x)在[a，b]上一致收敛．