给定简单无向图G=，且|V|=m，|E|=n。试证，若，则G是哈密尔顿图。

给定简单无向图G=，且|V|=n，|E|>(1/2)(n-1)(n-2)，试证G是连通图。试给出|V|=n，|E|=(1/2)(n-1)(n-2)的简单无向图G=是不连通的例子。

给定无向图G=，如图17.2所示，试确定G是否为哈密尔顿图?若是，证明且构造哈密尔顿圈。

给定简单无向图G=证明：Δ(G)<|V|。

给定无向图G=，且对任意结点v∈V，有d(v)≥2。试证，G至少有一基本圈。

问题描述:给定一个无向图G=(V.E),设是G的顶点集.对任意,若u∈U且v∈V-U,就称(u,1)为关于顶点集U的条割边.顶点集U的所有割边构成图G的一个割.G的最大割是指G中所含边数最多的割.

算法设计:对于给定的无向图G,设计一个优先队列式分支限界法,计算G的最大割.

数据输入:由文件input.txt给出输入数据.第1行有2个正整数n和m,表示给定的图G有n个顶点和m条边,顶点编号为1,2,...,n.接下来的m行中,每行有2个正整数u和y,表示图G的一条边(u,v).

结果输出:将计算的最大割的边数和顶点集U输出到文件output.txt.文件的第1行是最大割的边数;第2行是表示顶点集U的向量x(1≤i≤n),x=0表示顶点i不在项点集U中,x=1表示顶点i在顶点集U中.

给定无向完全图G=，且|V|=4。在图同构意义下，试求：

①G的所有子图;

②G的所有生成子图。

命题“G为n阶无向简单图，若，u与v不相邻，且满足d(u)+d(v)≤n-1，则G不是哈密顿图”的真值为( )。

问题描述:给定有向图G=(V,E).设P是G的一个简单路(顶点不相交)的集合.如果V中每个顶点恰好在P的条路上,则称P是G的一个路径覆盖.P中路径可以从V的任何一个项点开始,长度也是任意的,特别地,可以为0.G的最小路径覆盖是G的所含路径条数最少的路径覆盖.

设计一个有效算法求一个有向无环图G的最小路径覆盖.

[设V={1,2,...,n},如下构造网络G₁=(V1,E₁):

每条边的容量均为1.求网络G₁的(x₀,y₀)最大流.]

算法设计:对于给定的有向无环图G,找出G的一个最小路径覆盖.

数据输入:由文件input.txt提供输入数据.文件第1行有2个正整数n和m.n是给定有向无环图G的顶点数,m是G的边数.接下来的m行,每行有2个正整数i和j,表示一条有向边(i,j).

结果输出:将最小路径覆盖输出到文件output.txt.从第1行开始,每行输出一条路径.文件的最后一行是最少路径数.

给定连通无向图G=，且e∈E。证明：当且仅当e是G的割边时，e才在G的每棵生成树中。