设X=X₁*X₂*…*Xₙ是n≥1个拓扑空间X₁，X₂，…，Xₙ的积空间，Y也是拓扑空间，则映射f：Y→X是连续映射当且仅当对于每一个j=1，2，…，n，复合映射Pj。f：Y—X，是（），其中每一个Pj：X→Xj都是投射。

设(X，τ_X)，(Y，τ_Y)是拓扑空间．证明f：X→Y连续当且仅当对Y的每个子集B，

设X，Y为拓扑空间，证明T：X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A，T^-1(A)是X的闭集．

设τ₁，τ₂是X上的两个拓扑，I是X上的恒等映射．证明I：(X，τ₁)→(X，τ₂)连续当且仅当τ₂τ₁．

设(X，，μ)是测度空间，其中X是局部紧的σ-紧的Hausdorff空间，拓扑为τ_X，，μ是正则的且对X的任何紧集K有μ(K)＜∞(注意就是这样的空间)．设(Y，τ_Y)为拓扑空间，f：X→X连续，且对任意零测集A，f^-1(A)可测；g：X→Y可测．证明复合映射gf：X→Y可测．

设X与Y是赋范空间，若映射T: XY满足（），则称T是拓扑同构映射.

A、T是双射

B、T是线性映射

C、T是连续的

D、是连续的

设都是非空集合X的拓扑,并且证明:当拓扑空间是紧致空间,则拓扑空间也是紧致空间.

设{x_α：α∈D)，{y_β：β∈E)都是拓扑空间x中的网，若存在映射F：E→D使

(SN1)y_β=x_F(β)；

(SN2)α∈D，β₀∈E，当时有；

则称{y_β：β∈E}是{x_α：α∈D}的子网．证明：若网{x_α：α∈D}收敛于x，则它的任何子网{y_β：β∈E}也收敛于x．

设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规空间的当且仅当它的每个子空间完全正规．

设(X，ρ)是紧度量空间，T是X到自身的映射且满足条件：对任意x，y∈X，当x≠y时，ρ(Tx，Ty)＜ρ(x，y)．证明T在X上有唯一不动点．