设X是拓扑空间，如果存在（），则称集合U是点Xa∈X的邻域。

设X是拓扑空间，x∈X，AX．若对点x的每个邻域U，有U∩,(A\{x})≠，则称x为A的聚点．A的一切聚点之集称为A的导集，记为A'．

证明：

设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规空间的当且仅当它的每个子空间完全正规．

设X是具有单位元的Banach代数，x∈X，如果存在{x_n}X，‖x_n‖=1，使得xx_n→θ或x_nx→θ，则称x是X的一个拓扑零因子．证明：

设X是拓扑空间，是X的非空子集族且满足

(F1)

(F2)若A，B∈，则

(F3)若A∈，AB，则B∈，

则称是X上的一个滤子．若对X上的任一滤子，由蕴涵，则称滤子是一个极大滤子或超滤．若点p∈X的邻域系有，则称滤子收敛于p，记为．证明下列命题：

证明：若函数f(x)在点x₀连续且f(x₀)≠0，则存在x₀的某一邻域U(x₀)，当x∈U(x₀)时，f(x)≠0。

设f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在点x=a处可导的一个充分条件是( )．

证明：若函数f(x)在点x₀连续且f(x₀)≠0，则存在x₀的某一邻域U(x₀)，当x∈U(x₀)时，f(x)≠0．

设(X，ρ)为度量空间，T：X→X为映射，若存在常数β＞1使ρ(Tx，Ty)≥βρ(x，y)，x，y∈X，则称T为扩张映射．设X是完备的，证明满的扩张映射必存在唯一的不动点，并举例说明非满射的扩张映射未必有不动点．

设f(x)在x=a的某邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是