第1题
设非齐次线性方程组Αx=b(b≠0)有解,其通解一般地可表示为ξ+k1Α1+k2Α2+…+kn-rΑn-r,其中ki(i=1,2,…,n-r)为任意实数。 试证:向量组ξ,ξ+α1,ξ+α2,…,ξ+αn,是方程组 Αx=b所有解的极大线性无关组,但是αx=b所有解的集合不构成线性空间.
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第2题
设V是复数域上的n维线性空间,T1,T2是V上的线性变换,且T1T2=T2,T1,证明: (1)如果λ0是T1的特征值,则Vλ0是T2的不变子空间; (2)T1,T2至少有一个公共的特征向量.
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第3题
设λ1,λ2是线性变换T的两个不同的特征值,ε1,ε2是分别属于λ1,λ2的特征向量,证明:ε1+ε2不是T的特征向量. (2)证明:如果线性空间V中每一个非零向量都是线性变换丁的特征向量,则T是数乘变换.
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