试证明:
设fk∈L(Rn)(k∈N),,a.e.x∈Rn.若存在F∈L(Rn),使得|f(x)|≤F(x)(x∈Rn),且令
hk(x)=mid{-F(x),fk(x),F(x)}(即取中间之值),则.
第2题
试证明:
设f0(x),fn(x)(n∈N)是[0,1]上非负可积函数,若fn(x)在[0,1]上依测度收敛于f0(x),且有
,
则对[0,1]中任一可测集E,均有
.
第3题
试证明:
设{fk(x)}是上的非负可测函数列,且m(E)<∞,则{fk(x)}依测度收敛于零(函数)的充分必要条件是:
.
第4题
试证明:
设fn∈L([a,b])(n∈N),且有
|fn(x)|≤Mn(n∈N,x∈[a,b]),,
则,a.e.x∈[a,b],且有
.
第6题
试证明:
设f∈L((0,∞)),且正数列{an}中不会有多于5个数落入长度为1的区间中,则,a.e.x∈(0,∞).
第8题
试证明:
(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1.
(ii),a.e.x∈R1.
第9题
试证明:
设f∈L(R1),fn∈L(R1)(n=1,2,…),且有
(n=1,2,…),则fn(x)→f(x),a.e.x∈R1.
第10题
试证明:
设f∈L(R1),a>0,则级数在R1几乎处处绝对收敛,且其和函数S(x)以a为周期,且S∈L([0,A]).
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