设X是度量空间，为X的覆盖．若对每个x∈X，x属于至多有限个Vi，则称是X的点态有限覆盖．证明X是紧的当且仅当X的每

设X是度量空间，f：X→．证明f连续的充要条件是对每个a∈，集合{x∈X：f(x)≤a}与{x∈X：f(x)≥a}都是闭集．

设{f_n}是完备度量空间X上的连续复函数序列，使对每个x∈X有f(x)=f_n(x)(作为一个复数)都存在．证明：

设X为完备度量空间,A是X到X中映射,记

若则映射A有唯一不动点.

设(X，ρ)为度量空间，T：X→X为映射，若存在常数β＞1使ρ(Tx，Ty)≥βρ(x，y)，x，y∈X，则称T为扩张映射．设X是完备的，证明满的扩张映射必存在唯一的不动点，并举例说明非满射的扩张映射未必有不动点．

设X是可分距离空间,为X的一个开覆盖，即是一族开集,使得对每个x∈X,有中开集0,使x∈O,证明必可从中选出可数个集组成X中一个覆盖.

设X是Banach空间，Y是赋范空间，对n，m=1，2，…。设F_mn∈BL(X，Y)若对每个m≥1，存在X中的x_m使得

证明存在X中的x使得

，m=1，2，…。

设X是度量空间，度量为d，f：X→[0，∞]是下半连续的，且至少有一点P∈X使f(p)＜∞，对n=1，2，3，…定义

g_n(x)=inf{f(p)+nd(x，p)：p∈X)．

证明

设X是拓扑空间，x∈X，AX．若对点x的每个邻域U，有U∩,(A\{x})≠，则称x为A的聚点．A的一切聚点之集称为A的导集，记为A'．

证明：

A.若X满足第二可数公理的性质，则X满足第一可数公理的性质

B.若X满足第二可数公理的性质，则X是可分的

C.若X是可分的度量空间，则X是Lindelof的

D.若X是Lindelof的空间，则X是可分的