第1题
试证明:
设是可测集列,若,则对任给的ε>0,存在[0,1]中可测子集A,使得m([0,1]\A)<ε,且有
.
第2题
试证明:
设,则E可测的充分必要条件是:对任给ε>0,存在开集G1,G2:,,使得m(G1∩G2)<ε.
第5题
试证明:
设是可测集,fn(x)(n∈N)是E上几乎处处有限的可测函数,则对任给ε>0,存在M>0,:m(E\E0)<ε,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈E0).
第6题
试证明:
设是开区间,是可测集,若存在λ>0,使得m(E∩I)>λ|I|,则对n∈N,存在开区间:
|I|=n·|J|,m(E∩J)>λ|J|.
第8题
设是无内点的闭集,且m(F)>0.若有且m(Z)=0,则(Zc).(但对任给ε>0,存在开集,m(G)<ε,使得χF∈C(Gc)).
第9题
试证明:
设且m(E)<+∞,{ft(x)}是E上一族(0<t<+∞)实值可测函数,若存在极限(x∈E),且是E上可测函数,则任给ε>0,存在:m(E0)>m(E)-ε,使得在E0上一致地存在.
第10题
试证明:
设是有界点集.则E可测的充分必要条件是:对任给ε>0,存在有限个互不相交的区间之并:,使得m*(E△V)<ε.
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