2004年5月，地处山区的广翔冶金厂与美申铸造机械厂（以下简称美申铸机厂)签订了一份定作

2004年5月，地处山区的广翔冶金厂与美申铸造机械厂(以下简称美申铸机厂)签订了一份定作合同。合同规定：由美申铸机厂按广翔冶金厂提供的图纸加工制作模具，共计400件，价款为50万元。合同还规定由美申铸机厂代办托运，即由美申铸机厂所在市第一汽车运输公司运输，美申铸机厂代办手续，运费由广翔冶金厂支付。但合同具体规定为："交货日期8月20日发出。交货地点：广翔冶金厂。"同年8月20日，美申铸机厂办妥了托运手续，货物发出并电告广翔冶金厂。第一运输公司的车行至半路，因连降暴雨，公路被严重冲坏，所以致使汽车滞留10天。9月4日，广翔冶金厂定作的模具才运到。广翔冶金厂电话通知美申铸机厂，要求其承担逾期交货的违约责任。美申铸机厂认为，自己于8月20日发出货物后就已履行完了合同义务，逾期交货的责任应由运输公司承担。双方无法达成协议，广翔冶金厂遂诉至法院。

根据上述材料，请回答以下问题：

本案涉及了几个合同关系？美申铸机厂是否承担责任？广翔冶金厂是否承担责任？运输公司是否承担责任？