二维0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是，体积是，价值为，每种物品只有1个。背包的重量限制为W，容积限制为V。问如何选择装入背包的物品，使得背包物品的总价值最大？ 设表示使用前i种物品、背包重量限制为j、容积为k时的最大价值，其中那么递推方程是：

二维0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是，体积是，价值为，每种物品只有1个。背包的重量限制为W，容积限制为V。问如何选择装入背包的物品，使得背包物品的总价值最大？ 设表示使用前i种物品、背包重量限制为j、容积为k时的最大价值，其中那么递推方程是：

A、

B、

C、

D、

【问题1】（8分）

用回溯法求解此0-1背包问题，请填充下面伪代码中（1）~（4）处空缺。

回溯法是一种系统的搜索方法。在确定解空间后，回溯法从根结点开始，按照深度优先策略遍历解空间树，搜索满足约束条件的解。对每一个当前结点，若扩展该结点己经不满足约束条件，则不再继续扩展。为了进一步提高算法的搜索效率，往往需要设计一个限界函数，判断并剪枝那些即使扩展了也不能得到最优解的结点。现在假设已经设计了BOUND（v,w,k,W）函数，其中v, w, k和W分别表示当前已经获得的价值、当前背包的重量、己经确定是否选择的物品数和背包的总容量。对应于搜索树中的某个结点，该函数值表示确定了部分物品是否选择之后，对剩下的物品在满足约束条件的前提下进行选择可能获得的最大价值，若该价值小于等于当前已经得到的最优解，则该结点无需再扩展。

下面给出0-1背包问题的回溯算法伪代码。

函数参数说明如下：

W：背包容量；n：物品个数；w：重量数组；v：价值数组；fw：获得最大价值时背包的重量；fp：背包获得的最大价值；X：问题的最优解。

变量说明如下：

cw：当前的背包重量；cp：当前获得的价值；k：当前考虑的物品编号；Y：当前已获得的部分解。

BKNAP(W,n,w,v,fw,fp,X）

1 cw ← cp ← 0

2 （1）

3 fp ← -1

4 while true

5 while k≤n and cw＋w[k]≤W do

6 （2）

7 cp ← cp＋v[k]

8 Y[k]← 1

9 k ← k+1

10 if k＞n then

11 if fp＜cp then

12 fp ← cp

13 fw ← ew

14 k ← n

15 X ← Y

16 else Y(k)← 0

17 while BOUND(cp,cw,k,W) ≤fp do

18 while k≠0 and Y(k)≠1 do

19 （3）

20 if k＝0 then return

21 Y[k]←0

22 cw ← cw ← w[k]

23 cp ← cp ← v[k]

24 （4）

0-1背包问题描述如下;给定n种物品和一个背包.物品i的重量是w_i,其价值为v_i背包的容量为C.应如何选择装入背包的物品,使装入背包中物品的总价值最大?

在选择装入肯包的物品时,对每种物品i只有2种选择,即装入背包或不装入背包.不能将物品i装入背包多次,也不能只装入部分的物品i.

0-1背包问题形式化描述如下:给定,要求n元0-1向量,使得而且达到最大.

算法设计:对于给定的n种物品的重量和价值,以及背包的容量,计算可装入背包的最大价值.

数据输入:由文件input.txt给出输入数据.第1行有2个正整数n和c,n是物品数,c是背包的容量.接下来的1行中有n个正整数,表示物品的价值.第3行中有n个正整数,表示物品的重量.

结果输出:将计算的装入背包物品的最大价值和最优装入方案输出到文件output.txt

其中c(i，j)表示i个物品、容量为j的0-1背包问题的最大装包价值，最终要求解c(n,W)。 采用自底向上的动态规划方法求解，得到最大装包价值为(62)，算法的时间复杂度为(63)。 若此为部分背包问题，首先采用归并排序算法，根据物品的单位重量价值从大到小排序，然后依次将物品放入背包直至所有物品放入背包中或者背包再无容量，则得到的最大装包价值为(64)，算法的时间复杂度为(65)。

A.11

B.14

C.15

D.16.67

背包问题的定义是：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。背包问题的一个例子：应该选择哪些盒子，才能使价格尽可能地大，而保持重量小于或等于15 kg？其示意图如下：假定有N个物品，其价值分别为，重量分别为，背包所能承受的总重量为，为物品i定义一个决策变量，其中表示选择该物品，表示不选择该物品。下面哪些描述共同构成了该问题的数学模型_____。

A、问题的目标函数是

B、问题的目标函数是

C、问题解所应满足的约束是

D、前述(A)和(C)

A、利用价值最大的贪婪准则时，选物品1，这种方案的总价值为60

B、最优解选物品为2和3，总价值为80

C、使用贪婪准则，不能保证得到最优解

D、利用价值最大的贪婪准则时，选物品2和3，总价值为80

背包问题的定义是：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。背包问题的一个例子：应该选择哪些盒子，才能使价格尽可能地大，而保持重量小于或等于15 kg？其示意图如下：假定有N个物品，其价值分别为，重量分别为，背包所能承受的总重量为，为物品i定义一个决策变量，其中表示选择该物品，表示不选择该物品。下面哪些描述共同构成了该问题的数学模型_____。

A、问题的目标函数是

B、问题的目标函数是

C、问题解所应满足的约束是

D、前述(A)和(C)

【说明】

“背包问题”的基本描述是：有一个背包，能盛放的物品总重量为S，设有N件物品，其重量分别为w1；w2，……，wn，希望从N件物品中选择若干件物品，所选物品的重量之和恰能放入该背包，即所选物品的重量之和等于S。

如下程序均能求得“背包问题”的一组解，其中程序4.1是“背包问题”的递归解法，而程序4.2是“背包问题”的非递归解法。

【程序4.1】

include＜stdio.h＞

define N 7

define S 15

int w[N+1]={0，1，4，3，4，5，2，7}；

int knap(int s，int n)

{ if(s==0)return 1；

if(s＜0||(s＞0& &n＜1))return 0；

if((1)))|

printf("%4d"，w[n])；return 1；

} return (2)；

}

main(){

if(knap(S，N))printf("OK!\n")；

else printf("NO!\n")；

}

【程序4.2】

include＜stdio.h＞

define N 7

define S 15

typedef struct{

int s；

int n：

int job；

} KNAPTP；

int w[N+1]={0，1，4，3，4，5，2，7}；

int knap(int s，int n)；

main(){

if(knap(S，N))printf("OK!\n")；

else printf("NO!\n")；}

int knap(int s，int n)

{ KNAPTP stack[100]，x；

int top，k，rep；

x.s=s；x.n=n；

x.job=0；

top=|；Stack[top]=x；

k=0；

while((3)){

x=Stack[top]；

rep=1；

while(!k && rep){

if(x.s==0)k=1；/*已求得一组解*/

else if(x.s＜0||x.n ＜=0)rep＝0；

else{x.s＝(4)；x.job＝1；

(5)=x；

}

}

if(!k){

rep=1；

while(top＞＝1&&rep){

x=stack[top--]；

if(x.job==1){

x.s+=W[x.n+1]；

x.job=2；

Stack[++top]=x；

(6)；

}

}

}

}

if(k){/*输出一组解*/

while(top＞=1){

x＝staCk[top--]；

if(x.job＝＝1)

printf("%d\t"，w[x.n+1])；

}

}

return k；

}