写出下列线性规划问题模型的对偶问题模型。

关于线性规划的原问题与对侧问题的下列说法，不正确的是：

A.原问题与对偶问题中可以只有一个有最优解

B.一定要把原问题转化为规范形式后，才可写出其对偶规划的模型

C.原问题的第一个约束对应其对偶问题的第一个变量

D.原问题的变量大于等于零时，其对偶问题的约束不等式一定是小于等于号。

某工厂计划用M₁，M₂，M₃三种原料生产A型和B型两种产品，其有关数据如表3-11所示．问这两种产品各生产多少件才能使总利润最大?

  

表3-11

原 料	每件产品所需原料/公斤		现有原料数/公斤
	A型	B型
M1 M2 M3	1 2 1	3 1 1	90 80 45
产品利润/(元/件)	5	4

  写出上述问题的线性规划模型和对偶问题的数学模型；用单纯形法求解原问题，并从最优单纯形表中得出对偶问题的最优解．

一家自助食堂在24h中需要的女服务员人数如表2-12。

  

表2-12 起迄时间 女服务员的最少人数 2～6 4 6～10 8 10～14 10 14～18 7 18～22 12 22～2 4

  每一个女服务员每天连续工作8h。现在目标是要确定满足以上需要的最少人数。试建立此问题的线性规划模型，写出其对偶问题，然后通过解对偶问题求出原始问题的最优解。

一家自助食堂在24h中需要的女服务员人数如表2-12。

表2-12
起迄时间	女服务员的最少人数
2～6	4
6～10	8
10～14	10
14～18	7
18～22	12
22～2	4

  每一个女服务员每天连续工作8h。现在目标是要确定满足以上需要的最少人数。试建立此问题的线性规划模型，写出其对偶问题，然后通过解对偶问题求出原始问题的最优解。

某工厂拥有A. B、C三种类型的设备，生产甲乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数、每件产品可获得的利润以及三种设备可利用的机时数如下表1所示。

问题:工厂应如何安排生产才能获得最大的总利润?

(1)写出该问题的线性规划模型

(2)用单纯形法求解该模型的最优解

(3)写出上述线性规划问题的对偶问题，设对偶变量为Y1,Y2.Y3。

一家昼夜服务的饭店，24小时中需要的服务员人数如表3-32所示．每个服务员每天连续工作8小时，且在时段开始时上班．问题是如何安排在各时段上班的服务员人数，使能满足上述要求，又使总的上班人数最少

  

表3-32

时 段	起讫时间	所需服务员的最少人数
1 2 3 4 5 6	2～6点 6～10点 10～14点 14～18点 18～22点 22～2点	4 8 10 7 12 4

  试建立上述问题的线性规划模型，然后写出其对偶线性规划问题，并通过解对偶问题求出原问题的最优解．

写出下列线性规划问题的对偶问题。

??(1)max z=2x₁+x₂+3x₃+x₄,

??s．t．x₁+x₂+x₃+x₄≤5，

??2x₁-x₂+3x₃=-4，

??x₁-x₃+x₄≥1,

??x₁，x₁₃≥0，x₂x₄无符号限制；

??(2)min f=3x₁+2x₂-3x₃+4x₄，

??s.t. x₁-2x₂+3x₃+4x₄≤3,

??x₂+3x₃+4x₄≥-5，

??2x₁-3x₂-7x₃-4x₄=2,

??x₁≥0，x₄≤0，x₂，x₃无符号限制．

写出下列线性规划问题的对偶问题，再写出对偶问题的对偶，并验证其即为原问题。

已知下列线性规划问题，写出其对偶问题：约束条件为：