设 是代数系统，*是X上的二元运算，R是X上的等价关系。若 当 且 时，有 ，则称R是X上关于*的同余关系，称R产生的等价类是关于*的同余类。考察代数系统 ， 是整数集合， 是整数加法。问以下的二元关系是 上的关于 的同余关系个数是？ a)  b)  c)  d)  

设，A上的二元运算*定义为：，则在代数结构中，幺元是( )，零元是( )。(注：答案之间用英文逗号,分开)

设是布尔代数，在S上定义二元运算⊕，x，y∈S有x⊕y=(x∧y')∨(x'∧y)，那么<S，⊕>能否构成代数系统?如果能，指出是哪种代数系统。

设都是含有一个二元运算的代数系统，证明：

设是布尔代数，在B上定义二元运算⊕，有。问：<B，⊕>能否构成代数系统?如果能，指出是哪一种代数系统，为什么?

设是一个布尔代数,如果在A上定义二元运算+,·为:证明：是以1为幺元的环。

设R是实数集，R上的二元运算*定义为：a*b=a+b+ab。

设<B,∧,v,',0,1>是布尔代数,在B上定义二元运算有

问<B,⊕>能否构成代数系统?如果能,指出是哪一种代数系统为什么?

设(Z，·)为代数系统，Z为整数集，·是普通乘法．又设B={1，-1，0}，⊙是定义在B上的二元运算，规则如表5-17所示，试做出(Z，·)到(B，⊙)的同态映射．

  

表5-17
⊙	1	-1	0
1	1	-1	0
-1	-1	1	0
0	0	0	0

设代数系统< A,* >,其中A={a,b,c}.*是A上的一个二元运算.对于由以下几个表所确定的运算,试分别讨论它们的交换性、等幂性以及在A中关于*是否有幺元。如果有幺元,那么A中的每个元素是否有逆元。

①< G,*>是个群.H,K是其子群,在G上定义二元关系证明:R是G上的等价关系。

②在①中,若|H|=m,|K|=n,|G|=mn,m与n互素,且R的某个等价类在G的乘法运算下构成G的一个子群,则R=G×G。