四能级系统比三能级系统更容易实现粒子数反转。

对于四能级系统，另有一种常见的集居数密度速率方程的写法：

式中，n2、n1为E2(上能级)和E1(下能级)的集居数密度；R1和R2为单位体积中，单位时间内用任何方式激励到E1和E2能级的粒子数，τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命，τ2和τ1分别为E2和E1能级的寿命，N是频率为v的准单色光的光子数密度。 (1)给出形成集居数反转的条件； (2)写出中心频率处饱和光强Is的表示式； (3)写出τ1／τ2＜＜1时，中心频率处饱和光强Is的近似表示式。

一激光系统的有关参数如下图4．12(b)所示，能级2→能级1的自发发射爱因斯坦系数为5×104s-1，自发发射谱线线型近似为三角形，如图4．12(a)所示。若以泵浦速率R2将粒子激励到能级2后，粒子向下跃迁到能级1，能级1及能级2的寿命均为10μs。假设系统处于稳态，激活介质的折射率为1．76，统计权重f2=1，f1=2。

(1)求能级2→能级1跃迁中心频率的发射截面； (2)根据图4．13所示激光器参数，计算阈值泵浦速率； (3)从速率方程出发，推导大信号情况下的能级2一能级1反转粒子数密度和中心频率处增益系数表达式(表达式用泵浦速率、能级寿命、能级统计权重和发射截面来表示)。

考虑一个四能级系统：E0(基态)、E1、E2、E3。采用双泵浦方式，基态至E3能级的泵浦速率为R3(单位体积单位时间内激发到高能级的粒子数)，基态至E2能级的泵浦速率为R2。在E3和E1能级间或E2与E1能级间有可能形成集居数反转。假设不存在E3至E2的跃迁，E3至E0和E2至E0的跃迁也可忽略不计，E1能级的寿命为τ1，E3至E1能级跃迁相应的寿命为τ31，E2至E1能级跃迁的相应寿命为τ21。求： (1)稳态时E1、E2及E3能级的集居数密度n1、n2和n3； (2)E3和E1间，E2和E1间同时形成集居数反转的条件。

考虑一个四能级系统：E₀(基态)、E₁、E₂、E₃。采用双泵浦方式，基态至E₃能级的泵浦速率为R₃(单位体积单位时间内激发到高能级的粒子数)，基态至E₂能级的泵浦速率为R₂。在E₃和E₁能级间或E₂与E₁能级间有可能形成集居数反转。假设不存在E₃至E₂的跃迁，E₃至E₀和E₂至E₀的跃迁也可忽略不计，E₁能级的寿命为τ₁，E₃至E₁能级跃迁相应的寿命为τ₃₁，E₂至E₁能级跃迁的相应寿命为τ₂₁。求：

光泵浦的激光系统如图4．9所示，激光工作物质能级示于图4．9(a)，在热平衡状态下，能级1，能级2上的粒子数可忽略不计。将泵浦光波长调到能级0→能级2跃迁中心频率，从一侧入射到工作物质上，将能级0的粒子抽运到能级2。能级2的粒子数通过自发发射和无辐射跃迁回到能级0，其跃迁几率分别为A20=106s-1，S20=5×106s-1；能级2和能级1之间存在自发发射和受激发射，其自发发射爱因斯坦系数A21为105s-1，能级1的寿命τ1=10-7s。为了简化，假定n2，n1＜＜n0，基态粒子数密度视为常数，n0=1017cm-3。该激光工作物质为均匀加宽介质，能级2→能级0及能级2→能级1跃迁谱线具有洛伦兹线型，其线宽△vH=10GHz，激光器处于稳态工作。其他参数如图4．9(b)中所示。求：

(1)中心泵浦波长的吸收截面σp； (2)能级2→能级1的中心频率发射截面σ21； (3)能级2寿命； (4)泵浦光很弱并忽略受激发射时的n2／n1比值； (5)阈值增益和中心频率阈值反转粒子数密度； (6)写出用σp，Ip，σ21和I表示的能级2和能级1的速率方程，求阈值泵浦光强(其中Ip和I分别为泵浦光强和腔内激光光强)； (7)如果泵浦光强是阈值的10倍，能级2→能级1跃迁以受激发射为主，估算该激光器的输出光强。

某一分子的能级E₄到三个较低能级E₁，E₂和E₃的自发辐射跃迁几率分别是A₄₃=5×10⁷s^-1，A₄₂=1×10⁷s^-1和A₄₁=3×10⁷s^-1，试求该分子E₄能级的自发辐射寿命。，τ₂=6×10^-9s，τ₃=1×10^-8s，对E₄连续激发并达到稳态时，试求能级上的粒子数密度的比值n₁/n₄，n₂/n₄和n₃/n₄，并指出这时在哪两个能级间实现了集居数反转(假设各能级统计权重相等)。

某工作物质的能级及相应跃迁如图3．14所示。E2能级的寿命τ2=1μs，E1能级的寿命τ1=2μs。从t=0时刻开始，在单位时间内单位体积中由基态E0激励到E2能级的粒子数为R2=1020cm-3.s-1。在忽略受激跃迁迁的情况下 (1)求E2和E1能级粒子数密度n2和n1随时间变化的表示式； (2)达到稳态时n2和n1多大； (3)求在E2和E1间形成集居数反转的时间范围； (4)将该工作物质用于构成激光器时，对泵浦方式有何要求?

A.当粒子反转数大于零时，在激光谐振腔中能够产生自激振荡

B.四能级的阈值功率反比于荧光谱线宽度

C.三能级系统所需的阈值能量比四能级大得多

D.钕玻璃激光器可以连续工作

一环腔激光器如图4．2(a)所示，腔内激活介质长1．5cm，发射截面为10-18cm2，上能级寿命为14μs，而下能级寿命短得多，即τ1＜＜τ2。能级为图4．2(b)所示。

求： (1)中心频率阈值反转粒子数密度； (2)中心频率处的饱和光强和中心波长； (3)若小信号增益系数g0=0．5cm-1，假定中心频率光波按逆时针方向行进，计算从M2镜输出光强。

图4．11(a)所示的环腔激光器中的激活介质为均匀加宽介质，跃迁中心波长λ0=600m，跃迁几率A21=6×104s-1，自发辐射线型为图4．11(b)所示的三角形，假设增益介质端面一空气间无损耗，上能级寿命为3．9μs，小信号反转粒子数密度△n0=5×1013cm-3。激光按逆时针方向振荡。求： (1)中心频率发射截面σ21，饱和光强Is和阈值反转粒子数密度； (2)在阈值以上有多少个TEM00q模； (3)腔内光强达到3×Is时的反转粒子数密度； (4)M2镜输出光强。