（1)设函数f（x)，g（x)在[a，b]上连续，在（a，b)内可导，且f（b)-f（a)=g（b)-g（a)．

设函数f(x)，g(x)在[a，b]二上连续，在(a，b)内可导，且f(b)－f(a)＝g(b)－g(a)． 求证：(1)在(a，b)内至少有一点c，使fˊ(c)＝gˊ(c)； (2)设a＜c＜b．f(x)和g(x)都在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)＝g(a)，f(c)＝g(c)，f(b)＝g(b)，则在(a，b)内至少有一点ε，使f〞(ε)＝g〞(ε)； (3)设f(x)在[0，4]上二阶可导，且f(0)＝0，f(1)＝1，f(4)＝2，证明存在一点ε∈(0，4)使得f〞(ε)＝－1／3．

设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明(a,b)内存在一点ξ,使得

设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且g'(x)≠0(x∈(a,b)).分别利用辅助函数

和

证明Cauchy中值定理,并说明φ(x)和ψ(x)的几何意义.

设函数f(x)，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F'(x)≠0，x∈(a，b)．由于f(x)，F(x)在[a，b]上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点ξ∈(a，b)，使

  f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，  (1)

  F(b)-F(a)=F'(ξ)(b-a)，  (2)

  又，F'(x)≠0，x∈(a，b)，(1)，(2)两式相除，即有

  ，

  以上证明柯西中值定理的方法对吗？

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)＞0，．证明至少存在一点ξ∈(a，b)使

  f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)=0．

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＝g"(ξ)．

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且当x∈(a，b)时，g'(x)≠0，试证明在(a，b)内至少有一点c，使得

  

设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(x)＞0．若极限

存在，证明： (1)在(a，b)内f(x)＞0； (2)在(a，b)内存在点ξ，使

； (3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f(η)(b2－a2)＝

。

假设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)≤0，记F(x)＝

，证明在(a，b)内F(x)≤0．