在P⁴中定义一个双线性函数f（X，Y)，对X=（x₁，x₂，x₃，x₄)，Y=（y₁，y₂

其中Tr是矩阵的迹。

1)证明：f(X，Y)是P^mxn上的双线性函数;

2)求f(X，Y)在基下的度量矩阵，(E_ij表示i行j列的元素为1，而其余元素全为零的mxn矩阵。)

  (a)对所有x，y∈X有|φ(x，y)|²≤q(x)q(y)

  (b)为X上的半范数，即对所有x，y∈X，有

  P(x)≥0，  (3)

  p(kx)=|k|P(x)，  (4)

  p(x+y)≤p(x)+p(y)。  (5)

  (c){x∈X：q(x)=0}={x∈X：任取y有φ(x，y)=0}

(1)f：R→R，f(x)=x，A={8}，B={4}；

(2)f：R→R⁺，f(x)=2^x，A={1}，B={1，2}；

(3)f：N→N×N，f(x)=，A={5}，B={<2，3>}；

(4)f：N→N，f(x)=2x+1，A={2，3}，B={1，3}；

(5)f：Z→N，f(x)={x}，A={-1，2}，B={1}；

以上每一组f和A，B，分别回答以下问题。

(a)f是不是满射的、单射的和双射的?如果f是双射的，求f的反函数。

(b)求A在f下的像f(A)和B在f下的完全原像f^-1(B)。

(1)若以|x|<|Y|,f时可能是满射吗?为什么?

(2)若以|x1|>|Y|,f时可能是满射吗?为什么?

(3)若x=;f可能是单射吗?:可能是满射吗?

(4)X与Y分别满足什么条件时f可能是满射,单射和双射?

(5)思考你对(4)给出的条件,在x,Y为无限集时还适用吗?