粒子在一维无限深势阱中运动，设该体系受到的微扰作用。（1)利用微扰理论求第n能级的准至二级的

粒子在二维无限深势阱中运动，

(1)写出本征能量和本征波函数;

(2)若粒子受到微扰的作用，求基态和第一激发态能级的一级修正。

在球对称谐振子势阱

  

  中运动的粒子，受到微扰作用为

  

  λ为小常数．

一质量为m的粒子限制在宽度为2L的无限深势阱当中运动，势阱为

现在势阱的底部加一微扰其中试利用一阶微扰理论计算第n激发态的能量。

粒子在一维势场V(x)中运动，能级为，n=1，2，3，…．如受到微扰作用，求能级修正(三级近似)，并和能级的精确值比较．

自旋为0的两个全同粒子在谐振子势场

  

  中作一维运动．粒子间有相互作用

    (1)

  视V_int为微扰，求体系的基态能级(一级近似)．

一电子在势中作一维运动，同时受到沿x方向一均匀电场的微扰，电场强度为E．试确定该系统由于电场存在所引起的能级移动．

考虑两个自旋1/2的非全同粒子组成的体系，粒子间作用势为中心势，V=V(r)，r=|r₁-r₂|．在质心坐标系中体系的总能量算符可以表示成

    (1)

  μ为折合质量．体系的相对运动轨道角动量算符为

  l=-ihr×▽

  体系的轨道状态(H，l²，l_z的共同本征态)记为ψ_nlm(r，θ，φ)．单粒子自旋、总自旋、总角动量及相应本征值记为(取h=1)

  ，

    (2)

  s²=s(s+1)， s=1，0

  J=l+s，J²=j(j+1)，J_z=m_j

  设两粒子的相互作用能中还包含微弱的张量力成分：

  H'=λ[3(σ₁·r)(σ₂·r)/r²-σ₁·σ₂]  (3)

  视H'为微扰，试计算³p₂及³p₁能级的微扰修正(一级近似)．

(a)质量为m的粒子在一维区域

  

  中自由运动，波函数满足周期性边界条件

  

  试写出能级和能量本征函数．(b)如粒子还受到一个“陷阱”的作用，作用势为

  ，  (1)

  试用微扰论计算能级修正(一级近似)．

苯的“自由电子模型”把电子看成在一个环形势场中运动，并受到具有C₆对称性的微扰作用．

（a）不计及微扰作用时，可以认为电子是在半径为R的环上自由运动。写出能量本征值与本征函数，作为零级近似。

（b）微扰可以表示成，试研究它对各能级的影响（一级修正），特别是要找出发生分裂的能级。